Альтернативное распределение

Распределение дискретной случайной величины, имеющей лишь два противоположных (разнокачественных) значения (два класса, k = 2). В одной пробе (в одном наблюдении) содержится одна варианта (m = 1), одно из двух возможных значений. Вероятности каждого из них могут быть равны (p = q) либо не равны (p < q; p > q). При­меры: самцы и самки, больные и здоровые ор­ганизмы, сработавшие и пустые ловушки на од­ной учетной линии, два варианта аллельных признаков, вакцинированные и невакцинированные па­циенты среди заболев­ших и др. (рис. 7). Вычисления констант доста­точно просты и не требуют построения вариационного ряда.

Рис. 7. Альтернативное распределение (два класса вариант).

По оси ординат – частости (доли) этих групп

Важнейшей характеристикой является доля (p) вариант определенного вида (А), представленных общим числом n_A в пределах выборки объемом n:

.

Если исходы отдельных испытаний выразить числами 0 или 1 (что аналогично отбору проб с объемом m = 1), доля вариант совпадает со средней арифметической, рассчитанной для всех значений:

.

Например, результат отловов полевок из природных популяций показал, что в исследуемой группе (200 особей) было 120 самок и 80 самцов. В данном случае мы имеем дело с альтернатив­ным признаком (самка – самец). Из 200 проб 120 содержат самок (значение 1), 80 – не содержат (значение 0), так получаем выборку n = 200:

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111.

Доля вариант со значением 1 составляет:

,

что совпадает со средней арифметической для всего ряда:

.

Для альтернативного распределения могут применяться те же формулы расчета выборочных параметров, что и для биномиального распределения. Средняя (доля самок):

M = m ∙ p = 1 ∙ 0.6 = p = 0.6.

Стандартное отклонение (при m = 1):

0.24.

Ошибка средней (ошибка доли самок):

.

Доверительный интервал для альтернативных признаков (их долей, процентов и частот) строится с помощью φ-преобразования Фишера, что дает более точные границы, особенно если доли сильно отличаются. Сначала вместо значения доли (процента) одного признака объектов берут значение φ (фи), най­денное по формуле или по таблице 10 П. Затем вычисляют ошибку: , обе доверительные границы φ _{лев .} = φ − tm _φ, φ _прав. = φ + tm _φ, после чего с помощью таблицы 10 П переводят найденные значения обратно в проценты.

Найдем доверительные границы для доли самок полевок p = 0.6 при уровне значимости α = 0.05. Используя таблицу 10 П и проводя расчеты, получаем: φ(60%) = 1.772, = 0.0707,

φ _{лев .} = 1.772 − 1.96 ∙ 0.0707 = 1.6334, φ _{прав .} = 1.772 + 1.96 ∙ 0.0707 = 1.9106, p _{лев .}(1.6334) = 53.1%, p _{прав .}(1.9106) = 66.4%.

Доля самок в генеральной совокупности (популяции полевок) составляет минимум 53.1%, максимум 66.4%.