Распределение Пуассона

Это вариант описания стохастического поведения дискретных количественных признаков для случаев, когда вероятность элементарных аль­тернативных событий неодинакова, одно из них наблюдается заметно чаще другого (p << q) (классический пример – попадание гитлеровских авиационных бомб в разные кварталы Лондона). Закон Пуассона описывает редкие события, происходящих 1, 2, 3 и т. д. раз на сотни и тысячи обычных событий. Поведение биологических объектов, соответствующее закону Пуассона, наблюдается в том случае, когда по пробам случайно распределены редкие объекты. Примеры таких явлений ­– частота нарушений хромосомного аппарата на каж­дую тысячу митозов, встречаемость семян сорняка в большой серии навесок семян культурного растения, число повторных попаданий животных в ловушки, встречаемость животных на отрезках длинных маршрутов (или на пробных площадках обширной территории), отловы животных в отдельные промежутки времени при длительных наблюдениях.

Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, определяется при подсчете числа элементарных событий в пробе (в группе, в навеске, на участке, на этапе). Число объектов в пробе больше 1 (m > 1), число классов больше двух (k > 2).

Распределение Пуассо­на резко асимметрично, причем дисперсия равна средней арифмети­ческой, что может служить критерием для оценки характера распределения изучаемого признака (рис. 6). В течение одного года (1946) пометили коль­цами и выпустили на волю 32 буревестника.

Число повторных отловов, x	Число отловленных животных, a	Число случаев повторного отлова,
n

В последующие пять лет часть из них отлавливали повторно: 7 экз. по одному разу, 7 – по два, 2 – по три, 1 экз. – четыре раза, 15 экз. окольцованных птиц повторно не попадались. Число классов составляет k = 4, интервал dx = 1. Асимметрия в частотах встречаемости птиц позволяет пред­полагать распределение Пуассона.

Рис. 6. Распределение Пуассона с пара­метрами n = 32, M ≈ S² = 0.968.

По оси абсцисс – число повторных отловов, по оси ординат – частости (относительные частоты)

Расчеты показали, что средняя арифметическая (M) примерно равна дисперсии (S ²):

= 0.968 экз.,

1.121 экз., S ² = 1.257,

S ² ≈ M.

Критерий Фишера не выявил достоверных отличий между средней и дисперсией: F = 1.257 / 0.968 = 1.157 < F _(0.05,31,31) = 1.8, что свидетельствует о соответствии наблюдаемого распределения закону Пуассона.

Возможен расчет параметров по более простым формулам:

M = m ∙ p, .

Доверительный интервал для параметров распределения Пуассона определить несколько сложнее, чем для других типов (Ивантер, Коросов, 2003).