Аналитическое задание движения

Теорема 4. При любом движении плоскости ортонормированный репер отображается в ортонормированный репер.

Доказательство. В самом деле, пусть (А, В, С) данный репер, а А^', В^',С^' - образы соответственно точек А, В и С. Т.к. точки А, В и С не лежат на одной прямой, то

|АВ|< |АС| + |СВ|, |ВС| < |ВA| + |АС|, |СА| < |СВ| + |ВА|.

Движение сохраняет расстояния, поэтому

|А^'В^'|<|А^'С^'|+|С^'В^'|, |В^'С^'| < |В^'А^'|+|А^'С^'|, |С^'А^'| < |С^'В^'|+|В^'А^'|.

Следовательно, точки А^',В^',С ^' не лежат на одной прямой.

Таким образом, получили, что (А^',В^',С^') - репер.

Если (А,В,С) - ортонормированный репер, то по теореме Пифагора

|АВ|² + |АС|² = |ВС|²,

Поэтому

|А^'В^'|²+ |А^'С^'|²= |В^'С^'|².

По теореме, обратной теореме Пифагора, А^'В^'С ^' - прямоугольный.

Учитывая, что

|А^'В^'|= |АВ| = 1, |А^'С^'| = |АС| =1,

получим: (А^',В^',С^') - ортонормированный репер.

Теорема доказана.. ▄

Теорема 5. Пусть R = (А,В,С) и R^' = (А^',В^',С^') – произвольные ортонормированные реперы плоскости s. Тогда существует одно и только одно движение, которое репер R переводит в репер R^'. При этом движении любая точка М с данными координатами (х, у) в репере R переходит в точку М^' с теми же координатами (х, у) в репере R ^'.

Доказательство. 1. Докажем сначала, что существует движение, которое репер R переводит в репер R^'.

Построим отображение g: s®s следующим образом. Произвольной точке М с координатами (х, у) в репере R поставим в соответствие точку М^' с теми же координатами в репере R ^'.

Тогда

g: А(0,0)_R ® А^'(0,0)_R^', В(0,1)_R ® В^'(1,0)_R^' и С(0,1)_R ® А^' 0,1)_R^'.

Очевидно, отображение g: s ® s является преобразованием плоскости s.

Докажем, что отображение g сохраняет расстояния. Пусть М₁ и М₂ - произвольные точки плоскости, которые в репере R имеют координаты М₁(х₁, у₁)_R и М₂(х₂, у₂)_R.

Тогда

|М₁М₂| = .

Образы М₁^' и М₂ ^'точек М₁ и М₂ в репере R^' имеют те же координаты:

М₁^'(x₁,y₁)_R^', М₂^'(x₂,y₂)_R^',

Поэтому

|М₁^'М₂^'| =

|М₁М₂| = |М₁^'М₂^'|.

Т.о. преобразование g -искомое движение, которое переводит репер R в репер R ^'.

2) Докажем, что g - единственное движение, которое переводит репер R в репер R ^'.

Допустим, что это не так, т.е. существует другое движение ¦, такое, что R^'= ¦(R). Тогда на плоскости существует такая точка М, что образ М₁ этой точки при движении g не совпадает с образом М₂ той же точки при движении ¦.

Т.к. и

то

|АМ| = |А^'М₁|, |АМ| = |А^'М₂|.

Поэтому

|А^'М₁| = |А^'М₂|,

т.е. точка А^' равноудалена от концов отрезка М₁М₂. Аналогично, точки В^', С^' равноудалены от концов отрезка М₁М₂. Т.о. точки А^', В^', С^' лежат на серединном перпендикуляре отрезка М₁М₂, т.е. на одной прямой, что противоречит определению репера.

Итак, ^' и - единственное движение. При этом движении М(х,у)_R переходит в М^'(х,у)_R^'.

. ▄

Используя эту теорему, легко доказать следующие свойства движения:

1⁰. Движение переводит прямую в прямую, а параллельные прямые - в параллельные прямые.

2⁰. Движение переводит полуплоскости с границей а в полуплоскость с границей а ¢, где а ¢ - образ прямой а.

3⁰. Движение сохраняет простое отношение трех точек прямой.

4⁰. Движение сохраняет отношение “лежать между”.

5⁰. Движение переводит отрезок АВ в отрезок А¢В¢, где А¢ и В¢ - образы точек А и В. При этом середина отрезка АВ переходит в середину отрезка А¢В ¢.

6⁰. Движение переводит луч в луч.

7⁰. Движение переводит угол в равный ему угол.

8⁰. Движение переводит взаимно перпендикулярные прямые во взаимно перпендикулярные прямые.

Вывод формул движения.

Пусть реперы R = (O ) и R = (O ) определяют движение g. При этом точка M в старом репере R имеет координаты (х, у), а в новом репере R¢ ее образ, точка М¢, имеет те же координаты (х, у) и координаты (х¢, у¢) относительно репера R = (O ). Репер R¢ = (O ) задается относительно репера R = (O ) как это сделано выше. Наша задача выразить х¢, у¢ через х, у. Для этого достаточно рассмотреть старые и новые координаты точки М¢ и воспользоваться формулами перехода от старой системы координат к новой,