Подставляя в это равенство линейные разложения векторов по базису

{ } согласно формулам (*) получим

.

Из этого равенства, в силу единственности разложения вектора по базисным векторам находим:

(1) (1)

Полученную зависимость (1) между старыми и новыми координатами точки М называют формулами преобразования аффинной системы координат.

Следствие: Движение и подобие являются частными случаями аффинных преобразований в силу их соответствующих аналитических заданий.

Рассмотрим частные случаи полученного нами выше преобразования системы координат.

1. Перенос начала координат. В этом случае координатные реперы R и R¢ имеют одни и те же координатные векторы, но разные начала координат. Поэтому

, , ,

а =1, а =0, а =0, а =1

Формулы (1) принимают вид

(2)

и при этом говорят, что “новая” система координат R¢ = (О^’ ) получена из “старой” R = (О ) параллельным переносом.

2. Замена координатных векторов. В этом случае координатные реперы R и R¢ имеют одно начало, но разные базисные вектора.

Поэтому с = с = 0.

Формулы (1) принимают вид:

(3)

и при этом говорят, что “новая” система координат R¢ = (О^’ ) получена из “старой” R = (О ) поворотом осей координат.

Пусть задано аффинное преобразование плоскости реперами f: R®R’. Пусть произвольная точка М плоскости имеет координаты (х, у), а ее образ точка М¢ в R имеет координаты (х¢, у¢). Тогда точка М¢ в новом репере R¢ имеет координаты (х, у). Итак, мы можем рассматривать точку М¢ одновременно в двух системах координат: старой R и новой R¢ одновременно и поэтому на координаты точки М¢ смотреть с точки зрения новых и старых координат как в предыдущем пункте. Обратим внимание на то, что старые координаты стали обладать штрихами, а новые координаты их потеряли. При этом мы получили связь между координатами точки М и ее образа М¢ и эта связь дает нам искомые формулы аффинного преобразования