Преобразование аффинных координат

Метод координат в плоскости

Определение 7.

Тройка называется прямоугольной (декартовой) системой координат в плоскости или прямоугольным репером.

Обозначается .

Метрические задачи

Задача 9. Вычисление площади треугольника

Дано: , А (х ₁; у ₁), В (х ₂; у ₂), С (х ₃; у ₃).

Найти: площадь треугольника АВС.

Решение (рис.1.14).

.

Вычислим площади трапеций А_хВ_хВА, В_хС_хСВ, А_хС_хСА по формуле :

,

аналогично , .

Тогда

.

Точки А, В и С могут располагаться иначе, а определитель, составленный из их координат – положительным или отрицательным числом, поэтому

. (2.1)

Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то S =0 и, наоборот.

Пример 7.

Дано: А (6; 0), В (–2; 1), С (2; 7).

Найти: .

Решение.

.

.

Преобразование координат в плоскости

Преобразование аффинных координат

® .

Назовем систему координат «старой», а – «новой».

Пусть точка М имеет в R координаты М (х; у), т.е. ей соответствует радиус-вектор . Пусть точка М имеет в R ¢ координаты М (х ¢; у ¢), т.е. ей соответствует радиус-вектор . Найдем зависимость между «старыми» и «новыми» координатами точки М.

Радиус-векторы точек связаны равенством:

. (2.2)

Рассмотрим координаты точек и векторов в обеих системах координат.

В «старой» системе:

точка О ¢(a; b) Þ (a; b) Þ ,

векторы Þ

Þ ,

точка М (х; у) Þ = .

В «новой» системе:

точка М (х ¢; у ¢) Þ = .

Из равенства (2.2) получаем:

=()+()=()+[ ],

т.е. = .

Из единственности разложения вектора по базисным векторам – координатным ортам , и по определению координат получаем:

(2.3)

или в матричной форме (2.3*).

Формулы (2.3) связывают «старые» и «новые» координаты точки М при преобразовании аффинной системы координат в другую аффинную систему координат.

Для того чтобы решить обратную задачу: найти новые координаты по известным старым, следует разрешить систему уравнений (2.4) относительно неизвестных х ¢; у ¢.

Рассмотрим частные случаи.

1) Перенос начала координат (параллельный перенос системы координат на вектор ). Это означает, что изменяется положение начала координат и сохраняется направление координатных осей, т.е. координатные векторы, ® .