Связь между прямоугольными и полярными координатами точки

Пусть дана система координат , в которой М (r; j.). Присоединим к полярной системе координат прямоугольную декартову , где М (х; у).

Задача: известны полярные координаты точки М. Найдем прямоугольные.

Рассмотрим треугольник ОМ_хМ: ОМ_х=х, ММ_х=у, ОМ=r, Ð М_хОМ=j.

, ,

т.е. , . (1)

Пусть 0< j <2 p, r ³0. Тогда

Положение точки М (х; у) в системе координат	Знаки координат	Знаки косинуса, синуса	Формула для х	Формула для у
I четверть 0< j < p /2	х >0, у >0	cos j >0 sin j >0
II четверть p /2< j < p	х <0, у >0	cos j <0 sin j >0
III четверть p < j <3 p /2	х <0, у <0	cos j <0 sin j <0
IV четверть 3 p /2< j <2 p	х >0, у <0	cos j >0 sin j <0

Обратная задача.

Известны прямоугольные координаты точки М. Найдем полярные.

.

Отсюда , т.е. ,

, т.е. .

Получили:

, (2)

Аналогичные формулы можно вывести для обобщенных полярных координат.

, .

Пример 2.

Дано: А (1; 1)

Найти: полярные координаты точки А.

Решение.

По формулам (2): = , , т.е.

Значит, полярные координаты точки А (; ).

Ответ: А (; ).

Пример 3.

Дано: А (2; )

Найти: декартовы координаты точки А.

Решение.

По формулам (1): , .

Ответ: А (0; 2)