Рекомендации по применению уравнения Бернулли

При применении уравнения Бернулли (2) для решения конкретной задачи рекомендуется следующая последовательность действий:

1. Выбираем два сечения, для которых будет записываться уравнение.

2. Выбираем плоскость для отсчета нивелирных высот Z ₁ и Z ₂.

3. Записываем уравнение Бернулли.

4. Проводим анализ записанного уравнения, избавляемся от «лишних» неизвестных величин и решаем его относительно искомой величины.

При выборе сечений рекомендуется выполнять следующие правила:

· уравнение Бернулли записывается для двух сечений одного и того жепотока жидкости;

· сечения должны быть перпендикулярными к направлению потока;

· уравнение записывается по потоку жидкости, т.е. сначала для первого сечения по течению жидкости, а затем для второго сечения.

В качестве сечений рекомендуется принимать:

o свободную поверхность жидкости в резервуаре (баке), где V ≈ 0;

o выход трубы (потока) в атмосферу, где действует р _ат и, следовательно, р _изб = 0;

o сечение, где присоединен манометр, вакуумметр или пьезометр;

o неподвижный воздух вдалеке от входа в трубу, в которую происходит всасывание из атмосферы (тогда в этом сечении можно принять V ≈ 0 и р _изб = 0).

В качестве плоскости для отсчета нивелирных высот удобно выбирать:

§ горизонтальную плоскость, проходящую через центр тяжести сечения, расположенного ниже по высоте;

§ нижнюю из горизонтальных плоскостей, от которой расставлены вертикальные размеры.

При решении многих задач проблемным является выбор величин безразмерных коэффициентов α₁ и α₂. Известно, что для ламинарного течения α = 2, а для турбулентного рекомендуется принимать α = 1. Поэтому проблема их выбора заключается в выборе режима течения.

В некоторых задачах на этот вопрос можно ответить уже в начале решения. Для этого необходимо вычислить число Рейнольдса по одной из формул:

или , (6)

где d – диаметр трубы, по которой движется поток;

ν – кинематическая вязкость жидкости.

Если полученное Re < 2300, то в потоке имеет место ламинарное течение, а если Re > 4000 – то течение турбулентное. В промежутке от Re =2300 до Re = 4000 существует переходная область. В этой области течение не устойчиво и могут использоваться методы решений, аналогичные методам расчета турбулентных течений.

Однако во многих задачах величины V и Q определяются только в результате решения. Поэтому вычислить число Рейнольдса в начале решения невозможно. В таких задачах режимом течения вначале необходимо задаться, а по окончании решения рекомендуется провести проверку правильности выбора режима. Причем, при выборе режима для маловязких жидкостей (вода, бензин, газы) рекомендуется предполагать турбулентное течение, а для вязких жидкостей (машиностроительные масла) – ламинарное.

При решении задач с применением уравнения Бернулли крайне важным является правильное определение величины суммарных гидравлических потерь Σ h _пот. При определении этих потерь Σ h _пот необходимо учитывать, что в гидравлике все потери разделяют на два вида:

– потери в местных гидравлических сопротивлениях – h _м;

– потери на трение в трубах – h _тр.

Потери напора в местных гидравлических сопротивлениях вычисляются по формуле Вейсбаха

, (7)

где: V – скорость в трубопроводе, где установлено местное сопротивление;

ζ – безразмерный коэффициент потерь для данного местного сопротивления.

Как правило, коэффициент ζ задается по условию задачи. Если же он не задан, то величину ζ целесообразно выбирать с использованием справочной литературы. Для некоторых простейших и часто встречающихся сопротивлений рекомендуется принимать следующие значения (при турбулентном течении):

– внезапное расширение потока при подводе жидкости по трубопроводу к баку больших размеров ζ_рас = 1;
Рис. 7. Внезапное расширение потока.

– внезапное сужение потока при отводе жидкости по трубопроводу от бака больших размеров ζ_суж = 0,5.
Рис. 8. Внезапное сужение потока.

Потери напора в трубах (потери на трение по длине трубы) удобно определять по формуле Дарси

, (8)

где: λ – коэффициент потерь на трение или коэффициент Дарси;

l и d – длина и диаметр трубы (трубопровода).

Величина λ задается по условиям задачи или определяется с использованием справочной литературы.

Пример 4. Жидкость вытекает из открытого резервуара в атмосферу через трубу, имеющую плавное сужение до диаметра d ₁= 10 мм, а затем постепенное расширение до – d ₂. Течение происходит под действием напора Н = 3 м. Пренебрегая потерями энергии и считая режим течения турбулентным, определить расход жидкости, а также абсолютное давление в узком сечении трубы. Соотношение диаметров задано d ₂ / d ₁= ; атмосферное давление соответствует h _ат = 750 мм рт. ст.; плотность жидкости ρ = 1000 кг/м³.

	Решение. По условиям данной задачи требуется определение абсолютного давления. Поэтому ее решение целесообразно провести с использованием абсолютных давлений.
Рис. 9. Иллюстрация к примеру 4.

При решении применим предложенную последовательность действий.

1. Выбираем два сечения.

В качестве сечения 1-1 выберем свободную поверхность жидкости в резервуаре. Тогда для этого сечения скорость V ₁ = 0, а давление р ₁ = р _ат. В качестве сечения 2-2 выбираем сечение на выходе из трубы в атмосферу. Тогда для него давление р ₂ = р _ат.

2. Выбираем плоскость для отсчета нивелирных высот.

В качестве такой плоскости принимаем горизонтальную плоскость, проходящую через ось трубы. Эта плоскость удобна тем, что проходит через центр тяжести нижнего сечения (2-2) и от нее проставлен вертикальный размер Н.

3. Записываем уравнение Бернулли.

В соответствии с условиями задачи при записи уравнения Бернулли пренебрегаем потерями энергии (Σ h _пот = 0) и считаем режим течения турбулентным (α₁ = α₂ = 1). Тогда уравнение (4) для данного случая принимает вид:

Записанное уравнение включает только одну неизвестную – скорость в сечении 2-2. Поэтому решаем уравнение относительно этой скорости и вычисляем ее величину

Далее при известной скорости V ₂ находим искомую величину расхода с учетом, что d ₂ = · d ₁. Тогда

Таким образом, получен ответ на первый вопрос задачи, т.е. вычислен расход жидкости Q = 1,2 л / с.

Далее необходимо ответить на второй вопрос: найти абсолютное давление в узком сечении. Для этого необходимо вновь провести все рекомендуемые операции.

1. Выбираем два сечения.

Выбираем новое сечение 3-3 в узком месте потока, так как здесь требуется найти абсолютное давление р ₃. В качестве второго сечения возьмем уже ранее выбранное сечение 2-2 (в этом сечении уже определена скорость – V ₂).

2. Выбираем плоскость для отсчета нивелирных высот.

В качестве такой плоскости принимаем плоскость используемую ранее.

3. Записываем уравнение Бернулли.

В этом случае для сечений 3-3 и 2-2 оно принимает вид:

где V ₃ – скорость жидкости в сечении 3-3.

4. Проводим анализ записанного уравнения, избавляемся от «лишних»

неизвестных величин и решаем его относительно искомой величины.

Кроме искомого давления р ₃ в уравнении имеются две незаданные по условию задачи величины: скорость V ₃ и давление р _ат.

Скорость V ₃ можно найти с использованием уравнения (5), т.е.

Тогда, учитывая заданное соотношение между диаметрами d ₁и d ₂, получим:

Для определения величины р _ат воспользуемся зависимостью (1). Тогда

Далее решаем уравнение Бернулли относительно искомой величины

Таким образом, давление в узком сечении потока составляет 12,4 кПа.

Пример 5: Жидкость вытекает из бака по гибкому шлангу, а затем через брандспойт в атмосферу. Определить скорость истечения воды из брандспойта V ₂, если избыточное давление над поверхностью воды в напорном баке р ₀ = 0,45 МПа. Принять следующие геометрические размеры: длина шланга l = 20 м, его внутренний диаметр d ₁= 20 мм, диаметр выходного отверстия брандспойта d ₂= 10 мм, высота уровня воды в баке над отверстием брандспойта Н = 5 м.

Учесть местные гидравлические сопротивления при входе в трубу ζ₁ = 0,5, в кране ζ₂ = 3,5, в брандспойте ζ₃= 0,1 (ζ₃ отнесен к скорости V ₂). Коэффициент потерь на трение принять λ = 0,018, а вязкость воды – ν = 0,01 см² / с.