Формула вычисления расстояния между двумя точками

Задача вычисления расстояния между двумя точками является метрической задачей. Метрические задачи, как правило, решают в

прямоугольной системе координат.

Задача. В прямоугольной системе координат даны точки А и В своими координатами. Вычислить расстояние между этими точками.

Дано:

R= (O, )

А(x_A;y_A;z_A)

B(x_B;y_B;z_B)

Вычислить: │АВ│ Рис.5

Решение.

Заметим, что │ АВ │=│ │. Так как модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат вектора, учитывая, что = ={x_B−x_A; y_B− y_A; z_B− z_A}, получаем:

(3)

5. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть дана прямая ℓ и точки А, В и С принадлежащие прямой ℓ.

Определение. Отношением, в котором точка С делит отрезок АВ называется число . Обозначение λ_С=(АВ,С).

Заметим, что в векторной алгебре не определяется операция деления вектора на вектор. Приведённая выше запись имеет смысл только для коллинеарных векторов. В данном случае это выполняется, так как точки А В и С лежат на одной прямой.

Число λ может принимать как положительные так и отрицательные значения. Так, на рис. 4 а) векторы и сонаправлены и, поэтому,

λ > 0; то есть точка С лежит на отрезке АВ. В случае, приведённом на рис.4б), и противоположно направлены и, следовательно, λ < 0, а точка С лежит вне отрезка АВ. Число λ не может принимать значение равное − 1, так как в этом случае = − => = => А = В, что означает отрезов вырождается в точку.

Задача. В аффинной системе координат даны точки А и В своими координатами и известно отношение, в котором точка С делит отрезок АВ. Вычислить координаты точки С.