Координаты точки в пространстве

Пусть в пространстве введена аффинная система координат − (О ),

а М – произвольная точка пространства. Вектор называется

радиус-вектором точки М. (Рис. 2)

Система векторов , является линейно зависимой. Это означает, что вектор можно представить в виде: . (1)

Рис. 2

Определение. Коэффициентыx,y,zв разложении вектора по векторамбазиса данной системы координат называются координатами точки М в системе координат R= (О ).

Число х называется абсциссой точки М, у – ординатой, а z – аппликатой точки М. Записывается это следующим образом: М(x,y,z). Другими словами, координатами точки М в системе (О ) называются координаты её радиус −вектора в базисе данного репера R=(О, ).

Если аппликата z точки М равна нулю, то из равенства (1) получаем:

= x + y .

Векторы , , линейно зависимы, поэтому они компланарны. Это означает, что точка М лежит в плоскости Оху. Из предыдущего равенства следует, что в плоскости (Оху) т. М в системе координат (О ) имеет две координаты М(х,у), а в системе координат (О ) эта точка имеет координаты М(x,y,0). Аналогично, если у=0, то М (Оxz) и в системе координат (О ) она имеет координаты М(x,0,z), еслих=0, то М (Оxz) => M(0,y,z). Отсюда следует, что если точка М принадлежит оси абсцисс, то у=z=0 то есть в системе координат (О ) она имеет координаты М(x,0,0), для любой точки оси ординат x=z=0 системе координат (О ) она имеет координаты М(0,у,0), а для любой точки оси аппликат x=y=0 системе координат (О ) она имеет координаты М(0,0,z).

Для построения т. М(x,y,z) по её координатам в системе О воспользуемся формулой (1). От начала координат О отложим вектор = =x , затем от т.М₁ отложим вектор и от точки М₂ отложим (рис.3)

Рис.3

По правилу многоугольника = x + y + z . Таким образом, М – искомая точка. Ломаную называют координатной ломанной т. М. Итак, для построения точки М достаточно построить её координатную ломанную. Каждое звено имеет длину соответствующей координаты, если единицей измерения есть длина соответствующего базисного вектора.