Плоскость, как поверхность первого порядка

Теорема II. Любая плоскость в некоторой системе координат определяется уравнением первого порядка Ах+Ву+Сz+D=0.

И наоборот любое уравнение первого порядка Ах+Ву+Сz+D=0 в некоторой системе координат задаёт в пространстве плоскость.

Доказательство.

1. Пусть в пространстве дана плоскость α. Введём в пространстве систему координат. Тогда, в зависимости от способа задания плоскости её уравнением будет одно из следующих:

Каждое из этих уравнений является уравнением первого порядка, которое легко приводится к виду Ax+By+Cz+D=0.Ч.т.д.

2. Пусть в пространстве в некоторой системе координат уравнение Ax+By+Cz+D=0. Выясним, какая фигура Φ определяется этим уравнением.

Возьмём точку М₀(-D/A; 0;0) и два вектора и . Составим уравнение плоскости α, заданной точкой М₀ и двумя

параллельными ей векторами: и .

Раскрыв определитель, получим Ах+Ву+Сz=0.

Очевидно, что всякая точка, принадлежащая фигуре Φ имеет координаты, удовлетворяющие уравнению Ах+Ву+Сz=0. С другой стороны, Любая точка, принадлежащая плоскости α, имеет координаты, удовлетворяющие тому же уравнению, => фигура Φ является плоскостью α.

Теорема доказана.

Следствие 1. Коэффициенты А, В и С в уравнении плоскости имеют простой геометрический смысл. Они определяют координаты векторов и ,параллельных плоскости.