2015-07-03
229
Скалярным произведением (СП) функций 
называется число
(2)
Свойства скалярного произведения: 
1) (f,φ) = (φ,f); 2) 
3) 
Определение 3. Нормой функции f 
L2[a;b], «порожденной скалярным произведением», называется неотрицательное число
(3)
Свойства нормы 
1) || f ||=0 ó f(x) ≡ 0; 2) || α∙f || = |α|∙ || f ||;
3) ||f ± φ|| ≤ ||f || + ||φ||
Определение 4. Функции 
называются ортогональными, если (f,φ)=0.
Множество F={φi(x), i=1,2,…} 
называется ортогональным, если его элементы – попарно ортогональные функции: 
ЭКЗ. Доказать, что множество 
ортогонально на [0;1] и вычислить нормы этих функций.
======================================
§2 Понятие о ряде Фурье. Коэффициенты Фурье. Многочлен наилучшего среднеквадратического приближения функции в L2([a;b]).
Пусть в L2([a;b]) задана бесконечная последовательность ортогональных функций
и задана функция g(x) 
, так что для 
определены скалярные произведения и соответствующие нормы 
.
Определение 1. Числа 
называются коэффициентами Фурье функции g по ортогональной системе FOPT, а функциональный ряд 
с этими коэффициентами – рядом Фурье.
Рассмотрим множество «многочленовпорядка“n”»: 
с произвольными коэффициентами 
.
Теорема. Во множестве 
многочленов порядка n многочлен с коэффициентами Фурье
(3)
является многочленомнаилучшего среднеквадратического приближения функции g, минимизирующим норму разности 
(4)
Доказательство.
