Сходимость тригонометрических рядов

Рассмотрим тригонометрический ряд (1). Для изучения его сходимости естественно рассмотреть числовой ряд

, (2)

который мажорирует ряд (1), т.к. a₀£|a₀|, . Тогда если ряд (2) сходится, то ряд (1) сходится при всех x абсолютно и равномерно (по признаку Вейерштрасса). Но ряд (1) может сходиться и при отсутствии сходимости ряда (2). Рассмотрим соответствующие признаки сходимости подобных рядов.

Теорема 1. Если f(x) с периодом 2l непрерывна для всех xÎR и имеет кусочно-непрерывную производную на периоде 2l, то её ряд Фурье равномерно сходится к ней для xÎR.

Определение. Говорят, что f(x) периода 2l удовлетворяет условиям Дирихле, если на [0;2l] можно указать конечное число точек 0=x₀<x₁<x₂<...<x_i<...<x_N=2l таких, что для xÎ(x_i,x_i₊₁) f(x) ограничена, непрерывна и монотонна, а в любой точке x_i разрыва имеет место равенство:

, (*)

т.е. значение функции в этой точке равно полусумме односторонних пределов.

Теорема 2. (признак Дирихле). Если f(x) периода 2l удовлетворяет условиям Дирихле, то её ряд Фурье сходится к ней для любого xÎR.

Замечание. Если f(x) удовлетворяет условиям Дирихле, кроме условия (*), то ряд Фурье сходится к f(x) для всех xÎR, за исключением точек разрыва x_i.

Если установлено, что ряд (1) равномерно сходится, то:

1) т.к. его элементы – непрерывные функции периода 2l, то его сумма f(x) есть непрерывная функция периода 2l;

2) ряд (1) можно почленно интегрировать, при этом имеет место равенство: ;