2015-07-03
42138
При решении задач о разложении функции f(x) в ряд Фурье следует:
1) нарисовать график f(x) на промежутке хотя бы длиной в два периода, чтобы показать, что данная функция периодическая;
2) нарисовать график S(x) аналогично, чтобы было видно в каких точках f(x)¹S(x);
3) вычислить коэффициенты Фурье и записать ряд Фурье.
Задачи
№1. Разложить в ряд Фурье 
Решение. Заметим, что f(x) задана на промежутке длины T = 4. Т.к. f(x) предполагается периодической, то именно это число и является ее периодом, тогда l = 2.
1) График f(x):
\
2) График S(x):
Стрелки в концах линий показывают, что функция не принимает в концах интервала значения, определяемого из выражения, заданного на интервале. При сравнении графиков f(x) и S(x) хорошо видно, что в точках разрыва f(x)¹S(x).
3) Вычислим коэффициенты Фурье. Это можно сделать по формулам (3*): 
; 
; 
. Именно: 
; итак,
.
Разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид:
Замечания. 1) При интегрировании на [-1;3] этот отрезок был разбит на [1;0] и [0;3], т.к. на этих отрезках f(x) задана разными значениями.
2) При вычислении коэффициентов использованы интегралы: 
и 
, где a = const.
№2. Разложить в ряд Фурье 
Решение. Здесь T = 2, l = 1.
Ряд Фурье имеет вид: 
, где 
; 
; 
, т.к. l = 1.
1) 
График f(x):
2) График S(x):
3) 
; 
.
; 
; 
; 
Тогда 
№3. Разложить в ряд Фурье по синусам 
Решение. Заметим, что в ряд Фурье по синусам раскладываются только нечетные функции. Т.к. f(x) определена только для x > 0, xÎ(0;2)È(2;3), то это означает, что на симметричный промежуток (-3;-2)È(-2;0) f(x) нужно продолжить так, чтобы выполнялось равенство f(-x) = -f(x). Поэтому длина промежутка, на котором f(x) задана как нечетная функция, равна 6. Значит T = 6, l = 3. Ряд Фурье для f(x) имеет вид: 
, где 
, n = 1, 2, 3, (по формулам (5')).
1) График f(x).
Чтобы нарисовать график f(x) как нечетной функции, нарисуем сначала график на (0;2)È(2;3), а затем воспользуемся тем, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Из этих соображений получаем график f(x) на (-3;-2)È(-2;0). Затем продолжаем f(x) на всю числовую прямую как периодическую функцию с периодом T = 6.
2) График S(x).
График S(x) отличается от графика f(x) в точках разрыва функции f(x). Например, в т. x = 2 f(x) не определена, а S(x) имеет при x = 2 значение, равное полусумме односторонних пределов функции f(x), именно: 
, где 
, 
.
3) 
.
Итак, 
, тогда разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид: 
.
№4. Разложить в ряд Фурье по косинусам 
.
Решение. Заметим, что в ряд Фурье по косинусам раскладываются только четные функции. Т.к. f(x) задана только для x>0, xÎ(0;2)È(2;3], то это означает, что на симметричный промежуток [-3;-2)È(-2;0) f(x) нужно продолжить так, чтобы выполнялось равенство: f(-x) = f(x). Поэтому длина промежутка, на котором f(x) задана как четная функция, равна 6, тогда T = 6, l = 3. Ряд Фурье в этом случае имеет вид:
,
где 
; 
; n = 1,2,... (по формулам (4')).
1) График f(x).
Чтобы нарисовать график f(x) как четной функции, нарисуем сначала график f(x) на (0;2)È(2;3], а затем воспользуемся тем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Из этих соображений получаем график f(x) на [-3;-2)È(-2;0). Затем продолжаем f(x) на всю числовую прямую как периодическую функцию с периодом T = 6.
Здесь график f(x) нарисован на двух полных периодах функции.
2) График S(x).
График S(x) отличается от графика f(x) в точках разрыва функции f(x). Например, в т. x = 0 f(x) не определена, а S(x) имеет значение: 
, поэтому график S(x) не прерывается в т. x = 0, в отличие от графика f(x).
3) 
; 
.
; 
Разложение f(x) в ряд Фурье по косинусам имеет вид: 
.
№5. Разложить в ряд Фурье f(x) = |x|, xÎ(-2;2)..
Решение. По условию, f(x) является четной функцией на (-2;2); т.е. ее ряд Фурье содержит только косинусы, при этом T = 4, l = 2, 
,
где 
; 
; n = 1, 2,
1) График f(x):
2) График S(x):
3) 
, т.к. |x| = x для x > 0. 
; 
.
Тогда разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид: 
. Заметим, что при интегрировании выражений 
или 
применяется формула интегрирования по частям: 
, где u = x; dv = cos(ax)dx или dv = sin(ax)dx.
№6. Разложить функцию 
в ряд Фурье: а) в интервале (–?,?); б) в интервале (0, 2?); в) в интервале (0,?) в ряд синусов.
Решение. а) График функции с 2? - периодическим продолжением имеет вид
Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и потому ее можно разложить в ряд Фурье.
Вычислим коэффициенты Фурье. Так как функция четная, то bn = 0 (n = 0, 1, 2,…) и (n = 0, 1, 2,…). 
Для вычисления этого интеграла применяют формулу интегрирования по частям в определенном интеграле. Получаем
.
Ряд Фурье данной функции имеет вид 
. В силу признака Дирихле данный ряд представляет функцию х2 в интервале (–?,?).
б) Интервал (0, 2?) не симметричен относительно начала координат, а длина его 2 l = 2?. Вычисляем коэффициенты Фурье по формулам:
,
.
Поэтому ряд Фурье имеет вид 
. В силу теоремы Дирихле ряд сходится к порождающей функции в точках х?(0,2?), а в точках 0 и 2? к значению. График суммы ряда имеет вид 
в) Функция, разлагаемая в ряд по синусам, должна быть нечетной. Следовательно, доопределим заданную функцию х2 в (–π,π) нечетным образом, т.е. рассматриваем функцию 
. Для этой функции f(x) имеем аn = 0 (n = 0, 1, 2,…) и 
Искомое разложение имеет вид 
.
График суммы ряда имеет вид
Отметим, что в точках х = (–π,π) ряд Фурье сходится к нулю.
№7 Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графически:
Решение. Получим явное выражение для f(x). График функции – прямая линия, используем уравнение прямой в виде 
. Как видно из чертежа, 
, т.е. f(x) = x – 1 (–1 < x < 1) и период Т = 2.
Эта функция удовлетворяет условиям признака Дирихле, поэтому она разлагается в ряд Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье (l = 1):
; (n = 1, 2,…);
.
Ряд Фурье для функции f(x) имеет вид
.
Он представляет функцию f(x) при –1 < x < 1, а в точках х0 = –1 и х0 = 1 ряд сходится к –1.
№8. Разложить функцию 
в тригонометрический ряд Фурье на отрезке и указать функцию, к которой сходится полученный ряд.
Решение. Нарисовать график функции, продолжив ее периодически с периодом 
или 
на всю ось. Продолженная функция имеет период 
.
Проверить условия достаточных признаков сходимости ряда Фурье (Дини-Липшица, Жордана, Дирихле).
Функция 
кусочно-монотонна на отрезке 
: она возрастает на 
и на 
. В точках 
функция имеет разрывы первого рода.
Выяснить четность или нечетность функции: Функция не является ни четной, ни нечетной.
Вычислить коэффициенты Фурье по формулам:
а) если функция задана на 
,
б) если функция задана на 
.
Составить ряд Фурье функции : 
.
Указать функцию, к которой будет сходиться этот ряд, пользуясь поточечными признаками сходимости: Согласно признаку Дирихле ряд Фурье функции сходится к сумме:
№9. Разложить функцию 
, в ряд Фурье по синусам на 
и с помощью этого разложения найти сумму числового ряда 
.
Решение. Продолжить функцию четным (нечетным) образом на (– p,0) или (– l,0), а затем периодически с периодом 2 p или 2 l продолжить функцию на всю ось.
Продолжим функцию нечетным образом на , а затем периодически, с периодом , продолжим ее на всю ось.
Нарисовать график периодического продолжения. Мы получим функцию 
вида:
Проверить условия достаточных признаков сходимости ряда Фурье (Дини-Липица, Жордана, Дирихле).
Функция кусочно-постоянна в промежутке 
: она равна –1 на и 1 на . В точках функция имеет разрывы первого рода.
Вычислить коэффициенты Фурье:
Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:
Составить ряд Фурье функции . 
.
Указать функцию, к которой будет сходиться этот ряд, пользуясь поточечными признаками сходимости.
Согласно признаку Дирихле ряд Фурье функции 
сходится к сумме:
Следовательно, при 
Подставив значения 
, указать сумму заданного числового ряда.
Полагая в полученном разложении 
, найдем 
,
откуда, так как 
, 
.
№10. Написать равенство Парсеваля для функции 
, и, исходя из этого равенства, найти сумму числового ряда 
.
Решение. Установить, является ли данная функция функцией с интегрируемым квадратом на 
.
Функция непрерывна, а, следовательно, интегрируема на . По той же причине ее квадрат интегрируем на .
Вычислить коэффициенты Фурье по формулам:
Так как нечетная функция, то ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам: 
Вычислить интеграл 
.
Написать формулу Парсеваля: 
Таким образом, формула Парсеваля имеет вид 
Произведя, если требуется, арифметические действия в правой и левой частях, получить сумму данного числового ряда.
Разделив обе части полученного равенства на 144, найдем: 
.
№11. Найти интеграл Фурье функции 
и построить его график.
Решение. Построить график функции .
Проверить выполнение условий достаточных признаков сходимости интеграла Фурье (Дини, Дирихле-Жордана или следствий из них).
Функция абсолютно интегрируема в промежутке 
, непрерывна при 
и 
, а в точке 
имеет разрыв первого рода. Далее, при и функция имеет конечную производную, а в нуле существуют конечные правая и левая производные. Выяснить четность или нечетность функции. Функция не является ни четной, ни нечетной.
Вычислить коэффициенты по формулам:
Имеем: 
откуда 
Записать интеграл Фурье функции :
Указать функцию, к которой будет сходиться интеграл Фурье, пользуясь поточечными признаками сходимости.
Согласно следствию из признака Дини интеграл Фурье функции сходится всюду к функции
Построить график полученной функции
№12. Найти синус-преобразование Фурье функции 
Решение. Проверить, будет ли заданная функция абсолютно интегрируемой на всей оси (в случае косинус- или синус-преобразования – на полупрямой 
).
Функция 
абсолютно интегрируема на полупрямой , что следует из ее непрерывности на этом промежутке
Вычислить преобразование Фурье по формуле:
Ее синус-преобразование Фурье есть 
№13. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию 
.
Решение. Сделать чертеж, при этом если функция задана лишь на периоде [например, на (–p,p)], продолжить ее периодически на всю числовую прямую
Y
-2π -π 0 π 2π 3π x
Проверить условие теоремы Дирихле для данной функции:
а) ограничена;
б) кусочно-монотонна;
а) 
;
б) на (0, p) – постоянна, на (–p, 0) – возрастает;
Выяснить четность и нечетность функции
Вычислить коэффициент Фурье по формулам:
(n = 0, 1, …);
(n = 1, 2, …).
Для четных функций 
(n = 0, 1,);
(n = 1,2,…).
;
;
.
Составить ряд Фурье функции f(x), при этом в случае четной функции он должен содержать лишь косинусы, а для нечетной функции – лишь синусы
Сделать вывод о сходимости полученного ряда Фурье, используя правило: сумма ряда равна:
а) f(x) в тех внутренних точках интервала (-p, p), в которых функция непрерывна;
б) 
во всех точках разрыва функции f(x);
в) 
на концах интервала
Ряд сходится к f(x) при х Î (-p, p), в точках ±p сходится к 
№14. Представить рядом Фурье в комплексной форме
f(x) = ex, o£ x< 2p; T = 2p.
Решение. Здесь T = 2p Þ l = p и ряд Фурье имеет вид: 
, где 
.
1) График f(x):
2) График S(x):
. Итак, 
, или 
, xÎ[0;2p).
Заметим, что при вычислении ck использовано свойство: 
, если f(x) – периодическая функция с периодом T = 2p.
№ 15. Представить рядом Фурье в комплексной форме f(x) = 2x, xÎ(-1;1), T = 2.
Решение. Здесь T = 2, l = 1 и ряд Фурье имеет вид: 
, где 
.
1) График f(x):
2) График S(x):
3) 
; 
.
Итак, 
, или 
,
xÎ(-1;1).
