Ряды Фурье. Основные понятия

СМОЛЕНСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет компьютерных технологий

Учебно-методическое пособие

по курсу "Математика"

Тема:

Ряды Фурье

Смоленск, 2005г.

Составитель: доцент кафедры математического моделирования к.п.н. Галченкова И.С.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 4

РЯДЫ ФУРЬЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 5

СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ.. 6

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА.. 7

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.. 7

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ (a_k,b_k) 8

НЕПОЛНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ.. 10

КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ.. 11

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛЕНИЯ ЗАДАНИЙ.. 13

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ.. 35

ЛИТЕРАТУРА.. 43

ВВЕДЕНИЕ

Представленное учебно-методическое пособие выполнено на основе требований государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и рекомендуется для использования в учебном процессе при подготовке специалистов по специальностям факультета компьютерных технологий и экономического факультета.

Учебно-методическое пособие состоит из четырех частей. Первая часть посвящена теоретическому освещению изучаемого вопроса. Вторая часть содержит методические указания по выполнению задач. В третьей части перечислены основные умения и навыки, которыми должен обладать студент после изучения темы учебно-методического пособия. Четвертая часть содержит задания для самостоятельного выполнения.

Материал учебно-методического пособия изложен подробно и доступно, в нем прослеживается взаимосвязь с иными разделами математического анализа (функции действительной переменной, дифференциальное и интегральное исчисление, тригонометрия). По теме пособия представлен список основной и дополнительной литературы.

Материал методического пособия по учебной дисциплине «Математика» позволяет использовать его при организации самостоятельной работы студентов по теме «Ряды Фурье в учебном процессе на экономическом факультете и факультете компьютерных технологий.

Содержанием данного методического пособия является изложение основных теоретических положений, необходимых для решения задач о разложении периодических функций в тригонометрические ряды Фурье, а также разбор соответствующих задач.

РЯДЫ ФУРЬЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Рассмотрим основные определения и теоремы, необходимые для изучения темы.

Определение 1. Функция f(x) называется периодической периода T, если она определена для всех xÎR и выполняется равенство: f(x+T)=f(x), xÎR.

Рассмотрим, например, систему функций 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, cos kx, sin kx,... Функции sin kx и cos kx для каждого фиксированного k имеют период , (k=1,2,3,...); число 1 можно рассматривать как функцию с любым периодом, но все функции в целом имеют период 2p.

При этом периодическая функция S=f(x) изображает периодическое движение (колебание) точки, имеющей в момент времени x координату S на соответствующей числовой оси.

Определение 2. Функция , где A>0, l>0 и w - постоянные, k – натуральное, определяет гармоническое колебание точки с амплитудой A, фазой w и частотой k. Эта функция имеет период , т.е. за время совершается одно полное колебание. Тогда - число колебаний в единицу времени, т.е. частота колебаний. Однако принято частотой колебания называть число k.

Отметим, что функция , где , определяет гармоническое колебание, т.к.

, где o £ w_k £ 2p, , .

В различных областях техники – акустике, радиотехнике, электротехнике простейшими периодическими движениями являются гармонические колебания.

Конечная сумма гармонических колебаний с данным периодом 2l представляет собой сложное колебание .

Более сложное колебание представляет собой сумма сходящегося ряда:

, (1),

называемого тригонометрическим рядом, или рядом Фурье. Числа a_k,b_k называют коэффициентами Фурье, выражения - гармониками.