Тригонометрических функций

Рассмотрим систему функций с общим периодом 2l: 1, ,…, , ,... Для них справедливы следующие соотношения:

В этом случае говорят, что система функций на [-l;l] обладает свойством ортогональности. Покажем справедливость одного из этих равенств, например:

, т.к. sin p(k+m)=0, sin p(k-m)=0.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ (a_k,b_k)

Изучение свойств функции f(x) в связи со сходимостью ряда (1) обусловлено тем, что коэффициенты Фурье определяются значениями этой функции. Покажем это.

Предположим, что ряд (1) сходится равномерно. Тогда его можно почленно интегрировать: . При этом, в силу ортогональности рассматриваемой системы функций, , , . Тогда

. (3)

Умножим теперь ряд (1) почленно на функцию . Т.к. , то равномерная сходимость ряда (1) сохранится. Проинтегрируем теперь результат умножения: , m=1,2,3... При этом, в силу ортогональности,

, ,

Тогда: m=k,

(3')

Умножая почленно ряд (1) на функцию и используя ортогональность рассматриваемой системы функций, аналогично получим:

(3")

Таким образом, показано, что коэффициенты Фурье определяются значениями функции f(x).

Замечания.

1) Можно показать, что формулы для a_k,b_k справедливы и в том случае, когда f(x) удовлетворяет условиям Дирихле;

2) Ввиду периодичности подынтегральных функций (T=2l), коэффициенты a_k,b_k можно вычислять, интегрируя по любому промежутку длиною в период, т.е.

; ; , lÎR. (3*)

Рассматривая вновь сходящийся ряд (1), можно сказать, что f(x) разложена в ряд Фурье, коэффициенты которого вычисляются по формулам (3), (3'), (3"). Будем называть правую часть этого равенства суммой ряда Фурье и обозначать S(x). Ясно, что S(x)=f(x) в точках непрерывности f(x). Если x_i – точка разрыва для f(x), то , тогда как сама функция f(x) может быть не определена в точке разрыва x_i или имеет там значение, отличное от полусуммы односторонних пределов. В этом случае равенство между S(x) и f(x) не выполняется.