Рядов Фурье

Тема 8.1 Изображение несинусоидальных токов и.напряжений с помощью

Рядов Фурье

РАЗДЕЛ8 Изображение несинусоидальных токов и.напряжений с помощью

Ранее были рассмотрены электромагнитные процессы в электрических цепях, питаемых синусоидальными или постоянными напряжениями. В этих цепях R, L,- и С-элементы являлись линейными и поэтому не оказывали влияния на формы кривых тока и напряжения. Однако на практике часто встречаются электрические цепи, в которых возникают несинусоидальные токи и напряжения, что обусловлено следующими причинами:

несовершенство источников электрической энергии постоянной и синусоидальной ЭДС; подключение линейных электрических цепей к источникам электрической энергии, в которых создается ЭДС специальной формы (например, к генераторам с пилообразной или прямоугольной формой напряжения); наличие в электрических цепях различного рода нелинейных элементов (например, выпрямителей). Для анализа цепей, питаемых несинусоидальным напряжением, можно использовать те же методы, что и для цепей синусоидального напряжения, при условии, что периодически изменяющаяся несинусоидальная функция напряжения будет представлена в виде ряда синусоидальных функций — ряда Фурье.

Пусть задана некоторая периодически изменяющаяся несинусоидальная функция F(t). Она может быть представлена рядом Фурье в следующем виде:

Ряд состоит из постоянной составляющей А₀ и синусоид с амплитудами (коэффициентами ряда) А₁_m, А₂_m,..., А_km,,,,..., А_nm, …, возрастающими частотами ω, 2 ω,..., k ω,..., n ω,..., начальными фазами ψ₁, ψ₂...., ψn,..., Эти синусоиды называются гармоническими составляющими ряда или просто гармониками. Первая из них имеет период, равный периоду несинусоидальной величины, и называется основной гармоникой, остальные — высшими гармониками.

В справочной литературе даны ряды Фурье периодических несинусоидальных функций, которые наиболее часто встречаются в электротехнике и электронике, например (рис. 5.1):

Случаи симметрии периодических несинусоидальных сигналов позволяют упростить выражения для рядов Фурье. Различают два основных вида симметрии периодических сигналов: относительно оси ординат и относительно начала координат.

В случае симметрии относительно оси ординат периодическая функция четная.

В этом случае ряд Фурье косинусоидальный.

В случае симметрии относительно начала координат периодическая функция нечетная

В этом случае ряд Фурье синусоидальный. В нем отсутствуют постоянная составляющая сигнала А₀ = 0

Пример. Найти первую и третью гармоники функции f(х), изображенной на рис. Значения ординат функции за первый полупериод при разбивке периода на n = 24 части следующие:

р... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fp(x) … 7 11 13,5 15,4 17,4 20,5 25,4 32,5 27,7 19,2 10 5

Решение. Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, то А0 = 0 и ряд будет состоять только из нечетных гармоник.