Теорема Ролля

VI. Теореми про диференційовні функції

Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі і приймає рівні значення на його кінцях, тобто , то в інтервалі існує хоча б одна точка така, що .

Геометрично: знайдеться точка С така, що дотична з цією абсцисою до графіка паралельна осі ОХ (див. рис.39)

Y

f(a) f(b)

a с₁ с₂ b X

Рис.39

Доведення. Оскільки функція неперервна на , то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого і найбільшого значень. Якщо б ці значення досягались на кінцях відрізка в точках і , то за умовою теореми неперервна і випливало б, що функція - стала і тоді в кожній точці відрізка . Тому припускаємо, що функція досягає свого, наприклад, найбільшого значення у деякій точці (див. рис. 39), .

Обчислимо ліву похідну

(1)

і праву похідну

(2)

Згідно диференційовності її ліва і права похідні збігаються, тому із співвідношень (1) і (2) випливає, що .

З рис. 39 видно, що можливі і інші точки, в яких похідна дорівнює нулю .