Пример

(в момент маятник отклонен от положения равновесия на угол 0,2 радиан и движется влево со скоростью 1 ед.). Здесь . Можно убедиться, что точка содержится в полосе управляемости между прямыми и , правее линии переключения в верхней полуплоскости.

□ До линии переключения дойдем по гиперболе семейства (3), проходящей через эту точку, под управлением . Найдем закон движения по такой гиперболе с момента из точки :

Закон движения имеет вид:

Гипербола имеет уравнение:

.

Найдем точку её пересечения с линией переключения (7) (у нас )

Найдем момент попадания в эту точку:

.

Теперь найдем закон движения из точки с момента по линии переключения – гиперболе семейства (4):

Закон движения имеет вид:

Найдем момент попадания в точку назначения (достаточно воспользоваться вторым равенством):

.

Итак, оптимальная траектория имеет вид:

где

оптимальное управление

Судя по фазовой траектории на последнем рисунке, управление движением маятника происходит так:

В момент , когда включили управление, маятник был отклонен от положения равновесия на угол 0,2 радиан влево и продолжал отклоняться влево со скоростью 1 ед. Чтобы замедлить и остановить его отклонение влево, включили двигатель на полную мощность в направлении вправо. Маятник был остановлен (скорость ) при некотором положительном отклонении (слева от положения равновесия). Это – фазовое состояние . Под тем же управлением маятник стал приближаться назад к положению равновесия (уже с отрицательной скоростью ). Чтобы маятник не перескочил через положение равновесия, в момент управление было переключено на (для замедления маятника). Это – фазовое состояние . После этого маятник пришел в положение равновесия со скоростью (в момент ). ■

Контрольные вопросы

1. С помощью критерия Калмана проверить управляемость системы

где фазовый вектор, вектор управления.

2. Составить сопряженную систему для однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

3. Найти общее решение сопряженной системы для однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

4. Написать функцию Понтрягина к задаче

,

где фазовый вектор, управление, постоянная.