Релятивистское уравнение движения частицы

Чтобы уравнения движения частиц удовлетворяли принципу относительности, второй закон Ньютона надо подправить. Оказывается, второй закон Ньютона, записанный через импульс, не противоречит принципу относительности, если в него подставлять релятивистский импульс. Релятивистское уравнение движения имеет вид:
(10)
где импульс определяется уравнением (8).

Задача 4. Рассмотрите движения заряженной частицы с массой покоя m0, c зарядом q, ускоряемой однородным электрическим полем. Пусть напряженность направлена вдоль оси OX, и частица движется вдоль OX. Пусть в начальный момент времени частица покоилась.
а) Найдите зависимость импульса частицы от времени.
б) Используя выражение релятивистского импульса через скорость, най­дите зависимость скорости от времени.
в) При каких условиях результат решения приближенно описывается классической формулой?
г) Получите асимптотическое значение скорости при t® . Как отличается результат от классического решения?
д) Начертите приблизительный график зависимости v (t).

Решение. а) Движение одномерное, поэтому уравнение движения принимает вид
(11)
Уравнение (11) можно переписать для приращений
dp=qEdt. (12)
Так как величина qE постоянна, суммирование по конечному промежутку времени от 0 до t дает
p(t)-p(0)=qEt. (13)
Если частица начинает движение из состояния покоя, тогда p(0)=0 и уравнение (13) можно переписать в виде
p(t)=qEt. (14)

б) Выразим импульс через скорость, тогда
или (15)

в) При вторым слагаемым под радикалом в правой части уравнения можно пренебречь, тогда выражение скорости принимает вид
. (16)
Этот результат совпадает с результатом классического решения задачи. Обратим внимание на то, что классическая формула получается как приближенный результат в предельном случае.

г) При первым слагаемым под радикалом в правой части уравнения можно пренебречь, тогда v ®c в соответствии с постулатом теории относительности.

д) В этой части решения задачи полезно возвратиться к материалу занятия 1.5.1, где обсуждались результаты опытов по ускорению электрическим полем заряженных частиц.

Результаты решения задачи 4 согласуются с экспериментальными данными опытов по ускорению заряженных частиц электрическим полем.