Кинетическая энергия частицы

После работ Лоренца, Эйнштейна, Пуанкаре, заложивших основу теории относительности, физикам стало ясно, что любой физический закон, любое уравнение, выражающее этот закон, должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. Так уравнение движения частицы инвариантно относительно преобразований Лоренца, если оно записано через импульс. При этом оно выглядит точно так же, как второй закон Ньютона. Итак, релятивистское уравнение движения частицы имеет вид
. (1)
Пусть частица движется в силовом поле , которое зависит только от координат частицы. Пусть - бесконечно малое перемещение частицы под действием силы . Умножим обе части уравнения (1) на это перемещение:
. (2)
Правая часть уравнения равна работе силы при данном перемещении частицы. Если просуммировать обе части уравнения (2) по всем участкам траектории между двумя заданными точками 1 и 2, то в правой части получится полная работа силы A12, совершаемая при перемещении между этими точками. Если в начальном состоянии p=0, то левая часть после суммирования представляется в виде
, (3)
так что из уравнения движения следует
. (4)

При малых скоростях, когда справедлив второй закон Ньютона. Процедура суммирования приводит к известному уравнению, выражающему теорему об изменении кинетической энергии, и в левой части оказывается выражение кинетической энергии. Так что уравнение (4) следует рассматривать как обобщение теоремы об изменении кинетической энергии. Левая часть уравнения (4) имеет размерность энергии, причем для покоящейся частицы она равна нулю. По аналогии с соответствующим описанием данной ситуации в ньютоновской механике, величину W следует называть кинетической энергией.

Задача 1. Рассмотрите случай малых импульсов, когда p<<m0c, и получите выражение кинетической энергии частицы.

Решение. Представим радикал в выражении кинетической энергии в виде . По условию, под радикалом величина, мало отличающаяся от единицы. Приближенно, , поэтому , и , что совпадает с классическим выражением кинетической энергии. Здесь надо обратить внимание на то, что классическое выражение является приближением, справедливым только в предельном случае малых скоростей.

Задача 2. Покажите, что кинетическая энергия частицы может быть представлена в виде .

Решение. В формулу подставим импульс, выраженный через скорость . Тогда получим = = , где m - релятивистская масса. Подстановка в выражение кинетической энергии дает искомый результат.

Полученное выражение дает еще один смысл кинетической энергии частицы - она показывает, на сколько релятивистская масса превышает массу покоя частицы.