Частные случаи применения метода МНК

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для случая, широко используемого на практике, когда в качестве эмпирической формулы используется многочлен вида:

. (22)

Формула (18) для определения суммы квадратов отклонений S для этого случая будет иметь вид

. (23)

Для составления системы уравнений (19) найдем и приравняем нулю частные производные функции :

. (24)

Собирая коэффициенты при неизвестных , получаем следующую систему нормальных уравнений:

(25)

Решая эту систему линейных уравнений, получим коэффициенты многочлена, которые являются искомыми наилучшими параметрами эмпирической формулы (22).

Из рассмотренного случая вытекает частный случай линейной эмпирической формулы от одного параметра

. (27)

Для выборки объемом (n +1) система нормальных уравнений при этом имеет вид:

(28)

Коэффициенты и можно найти с помощью определителей (по правилу Крамера):

, (29)

. (30)