Экзаменационный билет № 18

14 15 16 17 18 19 20

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при (не)нулевых граничных условиях , .

2. Функция распределения случайной величины, её свойства. Доказать, что неубывающая.

3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце . ГУ: .

4. Дана схема:

Найти вероятность того, что цепь выйдет из строя, если – вероятность выхода из строя любого элемента цепи.

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при ненулевых граничных условиях имеет вид:

, , ,

граничные условия: , ;

начальное условие: .

Прежде, чем применить метод Фурье сделаем замену, сводящую к задаче с однородными краевыми условиями. Замена имеет вид:

где – новая неизвестная функция.

Находим

, , ,

: ,

Итак, для функции получим смешанную задачу

, , ,

, ,

Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид

Из краевого условия получаем: , т.е. .

Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения , ;

собственные функции , .

Теперь при каждом решаем уравнение для :

, .

Общее решение этого уравнения имеет вид

Тогда

Для нахождения коэффициентов , , воспользуемся начальным условием .

Разложим функции на отрезке в ряд Фурье по системе :

где

так как .

Тогда начальное условие дает

откуда

, .

Тогда решением задачи для является ряд

Значит,

где

2. Определение. Функцией распределения случайной величины называется определенная на всей числовой оси функция

Основные свойства функции распределения:

1) для всех ;

2) , ;

3) – неубывающая на , т.е. для любых из того, что следует, что .

Докажем последнее свойство. Пусть , – произвольные действительные числа, причем . Тогда

откуда

то есть .

Кроме того, при доказательстве была получена формула

которая позволяет проводить расчет вероятностей для случайной величины, если известна её функция распределения.

3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце . ГУ: .

3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце ставится следующим образом:

при ,

где – оператор Лапласа в полярных координатах , (, ). Граничные условия преобразуем в полярные координаты:

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

откуда

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

Если , то

Применяем условие периодичности:

Отсюда, , , .

Если , то

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим

, ,

откуда

т.е.

, .

При получим .

Таким образом, функции

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Для нахождения , , , воспользуемся граничными условиями.

Из условия имеем:

откуда

, , , ,

, ,

Из условия имеем:

откуда

, , , ,

, ,

Из системы

, ,

находим , .

Из системы

, ,

находим , .

Из системы

, ,

находим , .

Из системы

, ,

находим , .

Из систем

, , ,

находим , , .

Из систем

, , ,

находим , , .

Тогда в ряде для ненулевыми являются только коэффициенты

, , , , , , , .

Окончательно решение заданной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце имеет вид

4. Обозначим события – вышел из строя -й элемент, (рис.). Дана схема:

По условию

Пусть событие – выход из строя цепи. Событие происходит тогда и только тогда, когда выйдет из строя элемент 3 или хотя бы один из элементов 1 и 2, т.е.