Экзаменационный билет № 19

1. Общие свойства гармонических функций. Теорема о среднем. Теорема о максимуме и минимуме гармонической функции. Теорема о единственности решения задачи Дирихле.

2. Формула Бернулли (с доказательством).

3. Найти решение задачи Коши для волнового уравнения

НУ: .

4. Производится два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными , . Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

1. Функция называется гармонической в области , если она в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е.

для всех точек области .

Рассмотрим основные свойства гармонических функций. Их вывод основан на формуле Грина

Свойства гармонических функций:

1. Если – гармоническая в области функция, – граница области , то .

Доказательство. Во второй формуле Грина возьмем – гармоническая в функция (т.е. ), а (тогда , ) и получим .

2. Формула среднего значения (теорема о среднем). Если – гармоническая в области функция, то

где – сфера радиуса с центром в точке .

3. Принцип максимального значения. Если функция непрерывна в замкнутой области и гармоническая внутри , то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на поверхности .

Отсюда вытекают еще три свойства гармонической функции.

4. Если гармоническая в области функция и удовлетворяет на границе области условию , то она удовлетворяет этому условию и внутри области .

5. Если гармоническая в области функция и принимает на границе области постоянное значение, то она постоянна и во всей области . В частности, если , то в .

6. Если функции и гармоничны в области , то выполнимость на границе области неравенства влечет за собой выполнимость этого неравенства и внутри области .

Теорема о единственности решения задачи Дирихле. Решение внутренней задачи Дирихле

в ,

непрерывное в замкнутой области , единственно.

Доказательство. Пусть две функции и являются решением этой задачи. Тогда их разность удовлетворяет уравнению Лапласа в области , а на границе принимает значение, равное нулю. В силу свойства 5 гармонической функции имеем, что всюду в .

2. Схемой Бернулли (или последовательностью независимых испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям:

1) в каждом испытании возможны лишь два исхода – появление некоторого события (которое мы будем называть "успехом") или его не появление, т.е. осуществление события (в этом случае мы будем говорить, что испытание закончилось "неудачей");

2) испытания являются независимыми, т.е. исход -го испытания не зависит от исходов всех предыдущих испытаний;

3) вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна .

Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим через : .

При рассмотрении схемы Бернулли основной задачей является нахождение вероятности события, состоящего в том, что в испытаниях успех появится ровно раз, . Обозначим эту вероятность через .

Теорема. Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдет ровно успехов, определяется формулой Бернулли

, .

Доказательство. Обозначим событие "появление успеха" через У, а событие "появление неудачи" через Н. Тогда элементарными исходами последовательности из независимых испытаний будут всевозможные цепочки длины , состоящие из событий У и Н. Всего существует различных цепочек такого вида. Посчитаем вероятности элементарных исходов. В силу независимости испытаний события У, Н, Н,..., У, У являются независимыми и согласно теореме умножения вероятность того, что в испытаниях успех появился раз, равна , . Поскольку всего существует способов расположить «успехов» среди испытаний, то .

3. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой

, , ,

, .

представляется формулой Даламбера

У нас , , . Тогда

Для построения решения нарисуем на фазовой плоскости линии характеристик , , , , , , , . Эти линии разбивают фазовую плоскость на 15 областей, в каждой из которых нужно найти решение.

Область I: , . Тогда в I , и при . Значит,

Область II: , . Тогда в II , и при . Значит,

Область III: , . Тогда в III , и при . Значит,

Область IV: , . Тогда в IV , и при , при . Значит,

Область V: , . Тогда в V , и при и , при . Значит,

Область VI: , . Тогда в VI , и при . Значит,

Область VII: , . Тогда в VII , и при . Значит,

Область VIII: , . Тогда в VIII , и при , при . Значит,

Область IX: , . Тогда в IX , и при и , при . Значит,

Область X: , . Тогда в X , и при . Значит,

Область XI: , . Тогда в XI , и при , при . Значит,

Область XII: , . Тогда в XII , и при и , при . Значит,

Область XIII: , . Тогда в XIII , и при . Значит,

Область XIV: , . Тогда в XIV , и при , при . Значит,

Область XV: , . Тогда в XV , и при . Значит,

4. Сначала составим ряд распределения случайной величины – общее число попаданий в цель при двух выстрелах. Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2. Введем в рассмотрение события