Экзаменационный билет № 20

1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка. Приведение уравнений с постоянными коэффициентами к каноническому виду.

2. Неравенство Чебышёва (с доказательством).

3. Найти потенциал в центре квадрата со стороной , если на трёх сторонах квадрата потенциал равен нулю, а на четвертой стороне задается формулой

4. Масса пойманной рыбы подчинена нормальному закону с параметрами г, г. Найти вероятность того, что масса пойманной рыбы будет от 300 г до 425 г.

1. Для уравнения второго порядка от двух независимых переменных

принята такая классификация:

- если в некоторой области , то уравнение называется гиперболическим в ;

- если в области , то уравнение называется эллиптическим в ;

- если во всех точках области , то уравнение называется параболическим в .

В каждом классе уравнений есть простейшие уравнения, которые называются каноническими.

Уравнения

называют соответственно первой и второй каноническими формами гиперболического уравнения.

Уравнение

называется канонической формой эллиптического уравнения.

Уравнение

называется канонической формой параболического уравнения.

Дифференциальные уравнения

или

(если )

называются дифференциальными уравнениями характеристик.

Если в уравнении постоянные коэффициенты, т.е. для уравнения

решением уравнений характеристик есть

Если уравнение гиперболического типа (), то с помощью замены переменных

уравнение сводится к первой канонической форме.

Для уравнения эллиптического типа () к канонической форме сводит замена

, .

Для уравнения параболического типа () к канонической форме сводит замена

, .

2. Для любой случайной величины и любого положительного числа справедливо неравенство Чебышева

Доказательство проведем для случая, когда – непрерывная случайная величина. Пусть – плотность случайной величины , а , тогда

так как события и несовместны.

Итак,

то есть

Неравенство Чебышева доказано.

Для дискретных случайных величин неравенство Чебышева доказывается аналогично (вместо интегралов будут суммы рядов).

Следствие. Поскольку , то

3. Если – искомый потенциал, то он является решением задачи

при , ,

, .

Для решения краевой задачи воспользуемся методом Фурье. Нетривиальные решения уравнения Лапласа будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из краевых условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку , то общее решение уравнения имеет вид

Из краевого условия получаем: , т.е. . Из краевого условия получаем: . Поскольку , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

Собственные значения , ;

Собственные функции , .

Теперь при каждом решаем уравнение для :

: , .

Общее решение этого уравнения имеет вид

Тогда

Краевые условия , дают:

; ; , ;

, .

Итак, для определения , , , получили системы

Решая их, получим

, ,

, , .

Тогда

, .

Окончательно, потенциал равен

Значение потенциала в центре квадрата со стороной , т.е. в точке , , равно

4. Для расчета вероятностей попадания нормальной случайной величины с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением в промежуток используется формула