Линии уровня. Локальные экстремумы

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Графики функций двух переменных.

Линии уровня. Локальные экстремумы.

Переменная z (с областью значений Z) называется функцией независимых переменных x, у в множестве М, если каждой паре (x, у) их значений из М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из множества Z.

Множество М — область определения функции, множество Z — область ее значений. Функциональная зависимость z от x, у обозначается так: z = z (x, y), z = f (x, y), z = у (х, у) и т. п.

Возьмем в пространстве систему координатных осей x, у, z, изобразим на плоскости хОу множество М; в каждой точке (х, у) этого множества восстановим перпендикуляр к плоскости и отложим на нем значение z = f (x, y).

Геометрическое место полученных таким образом точек и является пространственным графиком функции z=f (x, y).

Фрагмент рабочего документа Mathcad с графиками функций f(x,y) = x² + у², g(x,y) = ху, h(x,y) = sin (х² + у²) приведен ниже.

Для того чтобы построить в Mathcad график функции двух переменных, щелкните в панели по кнопке , введите в помеченной позиции имя z и щелкните по рабочему документу вне поля графиков. Дважды щелкните по полю графиков и установите в окнах параметры изображения. При работе с панелями настройки параметров изображения можно посмотреть результат, полученный при изменении параметра изображения, не закрывая панели. Для этого после изменения параметра щелкните по кнопке

Линией уровня функции двух переменных x и у называется геометрическое место точек в плоскости хОу, в которых функция принимает одно и то же значение. Линии уровня функции z = f(x,y) определяются уравнением f(x, у) = С, где С = const.

Рассматривая линии уровня функции двух переменных, можно исследовать характер изменения функции, найти (приближенно, но как угодно точно) координаты точек экстремума. На рис. приведены линии уровня функций, графики которых изображены выше.

Линии уровня можно построить, щелкнув в панели графиков по кнопке . Можно использовать другой способ - получить линии уровня изменением параметров настройки графиков.

Функция f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке p₀(a,b), если во всех точках, достаточно близких к P₀, значение f(x,y) меньше (больше,). чем значение f(a,b).

Геометрически, над точкой Р₀ поверхность z=f(x,y) имеет точку М₀, лежащую выше (ниже) всех соседних.