Рассмотрим построение проекций точки и линии последовательно на перечисленных выше поверхностях вращения.
Цилиндр
Пусть задан прямой цилиндр, плоскости основания которого параллельны плоскости П 1 (рис. 4.4).
Решим задачу. Зная фронтальные проекции точек А и В, лежащих на боковой поверхности цилиндра, построить отсутствующие проекции. Поскольку на П 1 боковая поверхность цилиндра проецируется в окружность, то А 1 и В 1 лежат, очевидно, на ней. Их положение находим по вертикальным линиям связи.
Профильные проекции А 3, В 3 лежат, как известно, на горизонтальных линиях связи с фронтальными проекциями А 2 и В 2. При этом, в соответствии с правилами ортогонального проецирования, расстояние от Ф3 до профильной проекции точки равно расстоянию от Ф1 до горизонтальной проекции точки. Причем точка В 3 – невидимая, так как лежит на невидимой части боковой поверхности цилиндра.
Решим следующую задачу: по заданной фронтальной проекции А 2 В 2 линии (рис. 4.4) построим отсутствующие проекции.
|
|
Горизонтальная проекция А 1 В 1 совпадает с окружностью, так как все точки линии АВ лежат на боковой поверхности цилиндра.
При построении профильной проекции А 3 В 3 следует иметь в виду, что линия АВ пересекает прямую СD, которая на П 3 является контуром С 3 D 3 цилиндра. Поэтому сначала следует определить положение контурной точки 13, а затем соединить точки А 3 и В 3 линией, которая в отличии от А 212 В 2 не является прямой. В связи с этим для построения необходимо на А 212 В 2 выбрать несколько промежуточных точек (22, 32 и т.д.) и построить их профильные проекции (23, 33 и т.д.), руководствуясь вышеуказанным правилом взаимосвязи горизонтальной и профильной проекций. Чем большее количество промежуточных точек выбираем, тем более точными будут построения.
Конус
Решим те же задачи построения проекций точки и линии, лежащих на поверхности конуса (рис. 4.5).
Рис. 4.5. Построение проекций точек и линии на поверхности конуса.
Построим отсутствующие проекции точек А и В, расположенных на поверхности прямого кругового конуса, если известно положение А 2 и В 2.
Для построение горизонтальной проекции точки, например А, необходимо через ее фронтальную проекцию провести горизонтальную линию. Тогда на П 1 эта линия 12 представляет собой дугу окружности диаметром 1222=1121. По линии связи на ней находим А 1. Аналогично, проводя дугу окружности радиусом S 131, равным расстоянию от оси конуса до точки 32 на его контуре, определяем положение на ней точки В 1. По этим проекциям находим положение А 3, В 3.
По известной проекции А 2 В 2 линии на поверхности конуса построить горизонтальную и профильную.
|
|
Выбрав на линии А 2 В 2 промежуточную точку 42, найдем 41 так же, как сделали это для точек А и В. Соединив точки А 1, 41, В 1, получим горизонтальную проекцию линии АВ.
Для построения профильной проекции А 3 В 3 необходимо найти положение контурной точки 4, лежащей на SA. По фронтальной проекции 42, лежащей на S 2 A 2, находим профильную проекцию 43, лежащую на S 3 A 3. Теперь точки А 3, 43, В 3 можно соединить линией.
При соединении точек линией всегда надо руководствоваться достаточно очевидным правилом: на каждой проекции точки, принадлежащие линии, следует соединять в одинаковой последовательности. Так, если на фронтальной проекции точка 4 является промежуточной, то она будет промежуточной и на других проекциях.
Сфера
Проекцией сферы на любую плоскость проекций является окружность.
Рассмотрим построение проекций точек на поверхности сферы (рис. 4.6). Задача состоит в том, чтобы по известным проекциям построить отсутствующие. Для упрощения решения необходимо все характерные точки сферы обозначить. Точки, лежащие на экваторе, обозначим через А, В, С, D; точки, лежащие на главном меридиане – А, Е, С, F. Очевидно, что точки А и С принадлежат одновременно и экватору, и главному меридиану.
Рис. 4.6. Построение проекций точек и линии на поверхности сферы.
При построении проекций следует иметь ввиду, что любая параллель на П 2 проецируется в горизонтальную прямую, а на П 1 в окружность.
Пусть задана фронтальная проекция точки М. Проведем через нее параллель. Тогда на П 2 получим горизонтальную прямую, проходящую через точку М 2. А на П 1 – дугу окрудности радиусом F 111, равным расстоянию от вертикальной оси до токи 12. Ясно, что точка М 1 лежит на этой окружности. По двум проекциям М 1 и М 2, используя правило взаимосвязи проекций, построим М 3.
Рассмотрим другую точку N, проекция которой N 2 на П 2 является невидимой. Аналогично предыдущему построим N 1, лежащую на дуге окружности радиусом F 121. Так как N 2 - невидимая, то N 1 лежит выше оси Ф1. А поскольку точка N находится на поверхности нижнего полушария, что видно из положения N 2, то N 1 - невидимая. Профильная проекция N 3 строится по известному правилу взаимосвязи проекций. При этом, так как N 1 лежит выше оси Ф1, то N 3 - левее Ф3. Поскольку точка N лежит в правом полушарии, то на П 3 она невидимая, так как на П 3 все правое полушарие закрыто от нас левым и является невидимым.
Видимость и невидимость полушарий, а следовательно, и точек, лежащих на них, можно легко определить, рассматривая с разных точек зрения обыкновенный резиновый мячик, нарисовав на нем экватор и два меридиана, расположенных в плоскостях, перпендикулярных друг другу.
Построим горизонтальную и профильную проекции линии МN, если известна ее фронтальная проекция М 2 N 2, состоящую из прямолинейных отрезков М 232 и 32 N 2.
Очевидно, что точка 31 лежит на А 1 Е 1, так как 32 - на А 2 Е 2. При этом прямая МN проходит через экватор (точка 42). Следовательно, на П 1 – через точку 41. А участок 4131 – невидимый, поскольку, как видно по его фронтальной проекции 4232, он лежит в нижнем полушарии, т.е. ниже экватора.
Для построения проекций участка 3 N выберем промежуточную точку 52. Тогда точка 51 лежит на дуге окружности радиуса 5262. Соединив точки 31, 51, N 1, получим искомую линию М 1413151 N 1.
Построим профильную проекцию М 3 N 3, которая проходит через те же промежуточные точки. Так как М 232 – вертикальная прямая, то на П 3 она представляет собой дугу М 333 окружности радиуса 4232=А333. Точка 53 – контурная для профильной проекции сферы. Значит, остается соединить точки 33, 53, N3 кривой линией. При этом участок 53 N 3 – невидимый.
Если в нашу задачу входит более точное построение проекций линии MN, тогда на всех участках, где ее проекции не являются отрезками прямой или окружности, необходимо выбрать несколько промежуточных точек.
|
|
Тор
Рассмотрим открытый тор, ось которого расположена вертикально, т.е. является горизонтально-проецирующей линией. Учитывая, что построение профильной проекции не вызывает больших затруднений, будем строить проекции лишь на П 1 и П 2 (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Построение проекций точек и линии на поверхности тора.
Для удобства решения задач обозначим на рис. 4.7 характерные точки А, В, С, D, E, F, G, K, L, G*, K*, L*. Будем рассматривать переднюю половину поверхности тора.
По горизонтальным проекциям точек М и N построить фронтальные.
Для этого необходимо через точки М 1 и N 1 провести дуги окружности радиуса О 1 М 1 и О 1 N 1 соответственно до пересечения с прямой А 1 В 1, где получим точки 11 и 21. По линиям связи построим точки 12 и 22, лежащие на окружностях, образующих поверхность тора. Через них проведем горизонтальные прямые, соответствующие дугам окружности на П 1. Следовательно, на них лежат точки М 2 и N 2. Так как контуром видимости является линия GLK, то точка M 2 – невидимая, а N 2 – видимая.
Построить фронтальную проекцию линии MN, горизонтальная проекция которой представляет собой прямую М1N1.
Точка 31, принадлежащая М 1 N 1, лежит на контуре. Значит, ее положение на K 2 L 2 можно получить по линии связи через 31. Очевидно, участок между точками N 2, 32 видимый, а между 32 и М2 – невидимый. Так как невидимый участок достаточно протяженный, выберем некоторую промежуточную точку 41. Ее фронтальную проекцию 42 построим аналогично точкам M и N, проведя дугу окружности радиуса О 141. Далее, соединив точки М 2, 42, 32, N 2, получаем окончательное решение. Кривая M 2 N 2 состоит из невидимого М 24232 и видимого 32 N 2 участков.