Локальные и глобальные экстремумы

Тема 1. Функции нескольких переменных и задачи оптимизации

Локальные и глобальные экстремумы

В задачах математического программирования обычно разыскивается экстремум (максимум или минимум) целевой функции при некоторых ограничениях на значения ее переменных, которые записываются в виде системы уравнений и неравенств.

Точка называется локальным минимумом , если существует число такое, что для любой точки x из сколь угодно малой окрестности точки :

.

Аналогично определяется локальный максимум функции в точке.

В чем отличие локального минимума от глобального? Глобальный минимум – это точка x*, в которой целевая функция принимает значение не большее, чем в любой допустимой точке. Локальный минимум – это точка x*, в которой целевая функция принимает значение не большее, чем в любой достаточно "близкой" к x* допустимой точке.

Всегда можно легко перейти от задачи на максимум к задаче на минимум , и наоборот.

При этом решения этих двух задач достигаются в одной и той же точке, а значения целевых функций противоположны (см. рис.)

Рис.1. Переход от задачи на максимум к задаче на минимум

В некоторых случаях существование решения ЗМП гарантирует следующая теорема:

Теорема Вейерштрасса (TW). Если допустимое множество X замкнуто, ограничено и непусто, а целевая функция F(x) непрерывна на Х, то она достигает и наибольшего и наименьшего значения на этом множестве.

Обратите внимание на то, что невыполнение условий TW оставляет вопрос о существовании решения ЗМП открытым.

ПРИМЕР 1. Проиллюстрируем применение TW к следующим задачам:

? а) Допустимое множество задачи открыто и неограничено, что делает невозможным применение TW. Тем не менее целевая функция рассматриваемой ЗМП имеет глобальный минимум в точке .

b) Функция непрерывна на ограниченном, замкнутом множестве. Это означает, что в силу TW на рассматриваемом промежутке целевая функция задачи достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

c) Допустимое множество задачи замкнуто и ограничено, однако целевая функция терпит разрыв на данном промежутке в точке , и TW в данном случае неприменима. Целевая функция данной ЗМП не имеет глобального минимума и максимума.?