Решение малого сфероидического треугольника

Решить треугольник – определить все его элементы: стороны и углы.

Треугольник на поверхности эллипсоида, образованный геодезическими линиями, называют сфероидическим треугольником. (Вопрос о редуцировании треугольника с земной поверхности на поверхность эллипсоида рассматривается в лабораторной работе №8). Решение такого треугольника с большими длинами сторон с требуемой высокой точностью затруднительно. Треугольник сравнительно малых размеров – со сторонами до 240 км – решается достаточно просто, принимая его за сферический, в котором стороны являются дугами большого круга).

Целью лабораторной работы является закрепление теоретических знаний по способам решения малых сфероидических треугольников на примере решения треугольника наиболее простыми известными способами: по способу аддитаментов (Зольднер,1820 г.) и с использованием теоремы Лежандра (1787 г.).

В геодезии известными обычно являются горизонтальные углы треугольника, измеряемые на пунктах, и длина одной из его сторон. Поэтому задача обычно сводится к нахождению длины двух других сторон треугольника.

1. Решение малого треугольника по способу аддитаментов

Суть способа: при решении малого сфероидического треугольника его углы оставляют сферическими, а длину сторон исправляют специальной “добавкой” - аддитаментом.

Исходной рабочей формулой для решения задачи является теорема синусов для сферического треугольника:

sin a/R sin b/R sin c/R

---------- = ---------- = ----------.

sin A sin B sin C

Стороны a, b, c малого треугольника значительно меньше радиуса земного шара R, поэтому, ограничивая разложение синуса малой дуги в ряд только двумя первыми членами, получаем:

sin a/R = (a – a³ / 6R²_СР.) = a′ = a - a³ k = a - A_a,

sin b/R = (a – a³ / 6R²_СР.) = b′ = b + b³k = b - A_b,

sin c/R = (a – a³ / 6R²_СР.) = c′ = c + c³k = c - A_c,

где: в скобках –длина сторон a′, b′, c′ плоского треугольника;

A_a, B_b, C_c – аддитаменты (добавки) в длину сферической стороны для получения значения длины стороны плоского треугольника: А_а = ка³; А_b = кb³; А_c = кc³; коэффициент К = 1/ 6R²_СР.

Для средней широты РФ, если R_ср. и длину стороны треугольника выражать в км, значение “к” = 409х10^-8. Тогда аддитаменты А будут выражаться в метрах.

Последовательность решения задачи:

1) вычислить аддитамент A_b исходной сферической стороны b как

А_b = кb³;

2) вычислить длину стороны b′ плоского треугольника

b′ = b – b³ А_b;

3) используя формулу синусов для плоского треугольника, определить длину двух других его плоских сторон а′ и с′;

4) по полученным значениям а′ и с′ вычислить аддитаменты этих сторон А_а и А_с;

5) определить длину искомых сферичских сторон а и c как:

а = а′ + А_а и c = с′ + А_с .

Решение треугольника выполняется в форме таблицы.