Решение треугольника по теореме Лежандра

На практике способ аддитаментов используется обычно как контрольный. Решение треугольника выполняют по способу Лежандра, основанного на его теореме: “если стороны плоского и сферического треугольников равны между собой, то углы такого плоского треугольника равны соответствующим углам сферического треугольника, уменьшенным на одну треть сферического избытка”.

В связи с этим в данном способе решения треугольника сферические стороны остаются неизменными, а в сферические углы треугольника вводятся поправки - ε/3 за сферический избыток. Затем треугольник решается как плоский.

Последовательность решения:

1. Вычисление сферического избытка и невязки треугольника и распределение их поровну в исходные сферические углы (если значение сферического избытка и невязки не делятся ровно на три части, то доля в один из углов изменяется на одну единицу последнего разряда в большую или меньшую сторону); при отсутствии невязки треугольника значение сферического избытка контролируется отличием суммы углов от 180⁰.

2. Исправление углов за сферический избыток:

А¹ = A – ε/3, B¹ = B - ε/3, C¹ = C - ε/3.

3. С исправленными за сферический избыток углами с длиной исходной сферической стороны по теореме синусов для плоского треугольника находят значение длины остальных сферических сторон треугольника.

Решение треугольника выполняется в форме таблицы.

Пример решения:

Исходные данные взяты из условий решения треугольника по способу аддитаментов.

Вычисляется значение сферического избытка ε” = 5, 510”

	Сферические углы	- ε/3	Углы плоские	Sin углов	Сферичеcк. сторона,м
А	620 12′ 45,257”	-1,837”	62012′ 43, 420”	0,884679132	52055,148
B	50 20 20,552	-1,837	50 20 18, 715	0,769828958	45297,282
C	67 26 59,701	-1,836	67 26 57, 865	0,923541257	54341,823

Σ 180 00 00,000 - 5,510 180 00 00, 000

ε” = 5,510

w = 0,000

Сопоставление полученных результатов решения треугольников обоими способами показывает, что они совершенно идентичны.

Задание по вариантам:

Значения сферических углов треугольника принять из примера данной работы;

Значение исходной стороны треугольника АС = “b” принять равным “b” = 44 797,282 м +100 м х n, где n – номер по списку в журнале группы;

среднее значение широты треугольника В_ср. = 55⁰.

Рекомендуемая литература:

1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 2).

2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 5).

3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 16).

4. Конспект лекций.

Лабораторная работа №5

Решение главных геодезических задач на поверхности