МАТЕМАТИКА
Методические рекомендации для студентов
решения задач по математики.
Пермь, 2011г.
Образцы решения некоторых заданий контрольных работ
Пример1.. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера и метод обратной матрицы:
Решение.
1. Правило Крамера.
Находим определитель системы:
Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:
По формулам Крамера находим:
Ответ:
2. Метод обратной матрицы.
Введём обозначения: Тогда систему можно переписать в виде матричного уравнения: , решение которого находим по формуле
Прежде всего найдём матрицу , обратную матрице Определитель системы Следовательно для матрицы существует обратная. Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
Отсюда
Тогда
Итак, Ответ:
Пример2. Даны вершины треугольника АВС: Построить треугольник на координатной плоскости. Найти:
- периметр треугольника;
- уравнения всех сторон треугольника;
- уравнение высоты СН
- уравнение медианы АМ.
Решение.
|
|
1. Вычислим длины всех сторон треугольника:
Следовательно, периметр треугольника ABC равен
Ответ:
2. Составим уравнение прямой AB. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
Аналогично находим уравнения сторон BC: AC:
Ответ: AB: BC: AC:
3. Для нахождения уравнения высоты CH воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и проходящей через заданную точку: Известно, что условием перпендикулярности двух прямых является следующее условие: Так как прямые AB и CH перпендикулярны, то Используя координаты точки С, получаем уравнение высоты СH:
Ответ: CH:
4. Используя формулы для нахождения координат середины отрезка (полусумма соответствующих координат), найдем координаты точки M: тогда . Используя уравнение прямой, проходящей через две точки A и M, получим уравнение медианы AM:
Ответ: AM:
Пример3. Даны координаты вершин пирамиды: A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7), D(1; 5; 0). Найти:
- площадь основания АВС пирамиды;
- объем пирамиды ABCD;
- общее уравнение плоскости АВС;
- уравнение ребра АD.
Решение.
1. Треугольник ABC построен на векторах и (для того чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты его начала). Для вычисления площади основания ABC, найдём векторное произведение этих векторов: . Площадь треугольника ABC равна модуля векторного произведения векторов и :
Ответ:
2. Пирамида ABCD построена на векторах Объём пирамиды ABCD вычисляется как модуля смешанного произведения этих векторов: . Так как смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат этих векторов, то . Тогда
|
|
Ответ:
3. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки A, B и C:
.
Раскрывая определитель и преобразуя полученное уравнение, получим общее уравнение плоскости ABC: x+2y+2z-18=0.
Ответ: ABC: x+2y+2z-18=0.
4. Для составления уравнения прямой AD нам понадобится точка, лежащая на этой прямой (можно взять точку A или D), и направляющий вектор этой прямой. В качестве направляющего вектора прямой AD можно взять вектор Тогда уравнение прямой AD имеют вид:
.
Ответ: уравнение прямой AD: .
Пример 4. Найти производную функции
Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования дроби, произведения и сложной функции:
Пример 5. Найти производную функции
Решение. Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:
Пример 6. Провести полное исследование функции и построить ее график.
Решение.
1) , так как функция определена всюду, кроме точки x=1. В своей области определения функция непрерывна, является точкой разрыва графика функции; поведение функции в окрестности этой точки будет рассмотрено ниже.
2) Так как область определения не симметрична относительно точки x=0, то проверка на чётность и нечётность не проводится. График функции симметрией не обладает.
3) Найдём нули функции, т.е. точки пересечения с осями координат.
- При x=0 имеем: т.е. точка (0; 1) – точка пересечения с осью Oy.
- При y=0 имеем x= –1, т.е. точка (-1; 0) – точка пересечения с осью Ox.
4) Найдём асимптоты графика функции.
- Вертикальные асимптоты: так как , то – вертикальная асимптота.
- Горизонтальные асимптоты: так как , то горизонтальных асимптот нет.
- Наклонные асимптоты: так как
то – наклонная асимптота.
5) Найдём первую производную данной функции:
.
Найдём точки, в которых первая производная равна нулю: и не существует: . Для исследования функции на экстремум применяем метод интервалов:
–1 | (–1; 1) | (1; 5) | |||||
+ | + | не существует | – | + | |||
нет экстремума | нет экстремума | точка минимума |
Получаем, что при график функции возрастает, при - убывает. Точка - точка минимума,
6) Найдём вторую производную данной функции:
Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю: и не существует: Для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции, а также точек перегиба воспользуемся методом интервалов:
–1 | (–1; 1) | ||||
– | + | не существует | + | ||
перегиб | не существует |
Получаем, что - промежуток выпуклости, - промежуток вогнутости. Точка - точка перегиба,
Контрольные точки (нули функции, точки экстремума и точки перегиба) наносим на координатную плоскость и на основании проведённого исследования строим график данной функции.
Пример 7. Вычислить интеграл: .
Решение. Применяя формулу интегрирования по частям , получаем:
Пример 8. Вычислить интеграл: .
Решение. Применяя к данному интегралу метод внесения под знак дифференциала, получаем: . Ответ:
Пример 9. Вычислить интеграл:
Решение.
Ответ:
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .
Решение. Данная криволинейная трапеция получается при пересечении параболы и прямой. Найдем точки пересечения их графиков. Для этого решим совместно два уравнения : , откуда .
Сделаем схематический чертеж:
Тогда искомая площадь будет равна: (ед2.).
Ответ: (ед2.).
Пример11. Найти экстремум функции: .
Решение. Находим частные производные первого порядка: , . Находим точки возможного экстремума, для этого решаем систему уравнений: , Таким образом, точка - это точка, в которой может быть экстремум функции .
Для проверки того, является полученная точка точкой экстремума или нет, и если является, то какой в этой точке будет экстремум: минимум или максимум, проверяем достаточное условие экстремума. Находим: , и . Составляем определитель , следовательно в точке есть экстремум. Так как при этом , то в точке достигается минимум функции: . Ответ: .
|
|
Пример12. Решить уравнение: .
Решение. Данное уравнение относится к классу дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
. Теперь уравнение можно интегрировать: . Находим неопределенные интегралы: , откуда: - это общий интеграл данного дифференциального уравнения. Ответ:
Пример13. Решить уравнение при условии .
Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, для его решения применяем метод Бернулли. Делаем замену: , где и - неизвестные функции. Получаем: или . Неизвестную функцию найдем из условия : , , откуда . Тогда для нахождения второй неизвестной функции нужно решить уравнение: , откуда: . Тогда и путем интегрирования последнего равенства получаем . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид: . Для нахождения частного решения воспользуемся начальным условием: . Подставляя соответствующие значения переменных и в общее решение, получаем: , откуда . Тогда частное решение данной задачи имеет вид: . Ответ: .
Пример14. Решить уравнение: у ² +2 у' +5 у = 0.
Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение: . Это алгебраическое уравнение второго порядка, его корни – комплексные, сопряженные числа: . Тогда общее решение данного уравнения имеет вид: . Ответ: .
Пример15. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Для исследования данного ряда на сходимость можно применить признак Даламбера. Для этого находим и . Тогда: , следовательно, по признаку Даламбера данный числовой ряд сходится.
Пример16. Найти область сходимости степенного ряда .
Решение. Находим радиус сходимости ряда по формуле: . Имеем: , . Тогда . Итак, радиус сходимости . Тогда интервал сходимости данного ряда: , то есть .
|
|
Исследуем ряд на концах интервала сходимости.
При получаем числовой ряд . Этот ряд знакочередующийся, для исследования его на сходимость применяем признак Лейбница:
а) члены данного ряда убывают по абсолютной величине: ;
б) . Оба условия признака Лейбница выполняются, значит знакочередующийся числовой ряд сходится, и при исходный степенной ряд сходится.
При получаем числовой ряд . Этот ряд знакоположительный, для исследования его на сходимость применяем интегральный признак Коши: составляем интеграл и исследуем его на сходимость. Имеем: . Несобственный интеграл расходится, следовательно будет расходящимся и числовой ряд . Тогда на правом конце интервала сходимости исходный степенной ряд расходится. Вывод: степенной ряд сходится при .
Ответ: степенной ряд сходится при .
Пример17. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.
Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом – одно из сочетаний очков 1,..., 6 на верхних гранях трех костей.
Исследуемое событие А – сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы:
Р(А) = m/n.
Общее количество элементарных событий п можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем n = 6 × 6 × 6 = 216.
Количество элементарных событий т, входящих в состав события А или благоприятствующих событию А,найдем выписав всевозможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросания первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:
В результате получаем, что Р (т) = 43, значит, Р (А) = 43/216.
Ответ: Р (А) = 43/216.
Пример18. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,2. Имеется шесть билетов. Найти вероятности следующих событий: а) два билета будут выигрышными; б) выигрышных билетов будет от двух до четырех.
Решение. Для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли: . По условию задачи , .
а) Рассмотрим случайное событие А: два билета из шести будут выигрышными. Его вероятность: .
б) Рассмотрим случайное событие В: выигрышных билетов будет от двух до четырех. Это сложное событие состоит из следующих:
В1: два билета из шести будут выигрышными;
В2: три билета из шести будут выигрышными;
В3: четыре билета из шести будут выигрышными.
Тогда В= В1+В2+В3 и Р(В) = Р(В1)+Р(В2)+Р(В3).
Находим по формуле Бернулли соответствующие вероятности:
,
,
.
Тогда искомая вероятность: Р(В) = 0,2458+0,0492+0,0061=0,3011
Ответ: P(B)=0,3011.
Пример19. После обработки результатов эксперимента составлена таблица, в первой строке которой указаны группы возможных значений некоторой случайной величины хi, а во второй строке – численность каждой группы значений mi:
х i | 21 | 17 | 35 | 11 |
m i | 3 | 11 | 14 | 5 |
Найти объем выборки ; относительные частоты , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины; составить вариационный ряд распределения данной случайной величины. Найти числовые характеристики выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Решение. Найдем объем выборки n по формуле: , где – число столбцов в таблице. Тогда n = 3+11+14+5=33.
Относительные частоты , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины, находим по формулам: . Получаем: , , , .
Составим вариационный ряд распределения данной случайной величины:
х i | ||||
1/11 | 1/3 | 14/33 | 5/33 |
Находим числовые характеристики выборки:
а) среднее арифметическое находим по формуле:
б) выборочная дисперсия находится по формуле: .
Получаем:
в) среднеквадратическое отклонение: .