Производная обратной функции

Теорема. Если функция строго монотонна на интервале и имеет ненулевую производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную , в соответствующей точке, определяемую равенством
или .

Пример. Рассмотрим функцию . Найдем ее производную.

Решение. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найдем производную . Функция, обратная к исходной, имеет вид: . Находим производную обратной функции: . Следовательно,

Получили, что .

Вопрос. Дана функция . Производная равна

Начало формы

1/e^y+2y

Конец формы

Дифференцируемость функции.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную, то есть

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать

, где при ,

или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , которые являются бесконечно малыми функциями при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , а второе слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Поэтому первое слагаемое называется главной частью приращения функции или дифференциалом функции в точке .

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде:

где некоторое число, не зависящее от , причем , а при , то есть .

Понятия дифференцируемости функции в точке и существования производной в этой же точке тесно связаны между собой. Для функции одной переменной эти понятия являются равносильными.

Теорема 1. Для того чтобы функция , была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Определение 2. Функция называется дифференцируемой на отрезке , если она дифференцируема в каждой точке этого отрезка.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, то есть не иметь конечной производной в этой точке.

В точках разрыва (точках, в которых функция не является непрерывной) функция не может иметь производную, поэтому в таких точках функция не дифференцируема.

Пример 1. Функция имеет точку разрыва , следовательно, в этой точке она не дифференцируема.