Определение дифференциала функции

Пусть функция дифференцируема в точке , то есть ее приращение можно записать в виде:

, где при , .

Первое слагаемое линейно относительно и является главной частью приращения функции .

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции и обозначается или (читается "дэ игрек").

Дифференциалом независимой переменной называется приращение этой переменной . Поэтому дифференциал функции равен:

. Таким образом, .

Пример. Вычислите дифференциал функции .

Решение. Так как дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, то .

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть даны две дифференцируемые функции и , образующие сложную функцию . По теореме о производной сложной функции можно написать:

Умножив обе части этого равенства на , получаем:

Но и . Следовательно, .

Таким образом, первый дифференциал функции определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли её аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.