Теорема. Формулой Тейлора

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные до порядка включительно. Тогда при :

Эта формула называется формулой Тейлора порядка с остаточным членом в форме Пеано:

Если функция имеет в окрестности точки производную порядка , то найдется такая точка , лежащая между и , что остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде:

(форма Лагранжа)

12. Формула Маклорена.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при :

Остаточный член в форме Лагранжа записывается следующим образом:

13. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.

1) ;

2) ;

3) ;

;

5) ;

14. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

Отыскание предела путем формальной подстановки значения точки, к которой стремится аргумент, в формулу, задающую рассматриваемую функцию, во многих случаях приводит к выражениям вида . Они называются неопределенностями, так как по ним нельзя судить, существует или нет указанный предел. В этом случае вычисление предела называется «раскрытием неопределенности».

Теорема (правило Лопиталя для «раскрытия неопределенностей» вида )

Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки , существуют пределы и , равные 0 (для неопределенности вида ) или (для неопределенности вида ), и в окрестности точки . Если существует предел , то: