Дифференциал

Пусть функция является дифференцируемой на некотором промежутке. По определению производной (формула 7) Следовательно, отношение при Δ x → 0 отличается от производной на величину бесконечно малую: , где при . Умножая все члены полученного равенства на Δ x, получим .

Таким образом, приращение Δ y функции состоит из двух слагаемых, первое из которых есть (при f ´(x) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δ x. Произведение f ´(x)·Δ x называют дифференциалом функции и обозначают через dy или df (x).

О п р е д е л е н и е. Дифференциалом функции в точке х называется главная часть ее приращения равная произведению производной функции на приращение аргумента:

(12)

Дифференциал dx независимой переменной x совпадает с приращением Δ x, поэтому формулу (12) можно записать так:

(13)

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Рассмотрим на графике функции некоторую точку М (x, y) (рис.2), проведем в этой точке касательную к кривой и обозначим через α угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ox.

Дадим независимой переменной приращение Δ x, тогда функция получит приращение Δ y. На кривой это точка . На чертеже отметим точки Т и N, Из прямоугольного треугольника MNT, имеем: Согласно геометрическому смыслу производной поэтому Учитывая, что получим (по формуле 13). Последнее равенство означает, что дифференциал функции y = f (x), соответствующий данным значениям x и Δ x, равен приращению ординаты касательной к кривой в данной точке x. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.