Гладкие кривые

«Все умные места кривые.» Мераб Мамардашвили

Для «гладкой» аппроксимации применяют кривые Безье и NURBS-кривые в качестве средств векторной графики в связи с возможностью простого управления их непрерывной кривизной. Гладкость означает, что при моделировании на кривой не образуется петель, резких преломлений и разрывов. Но это не исключает возможность создания, как гладкого сопряжения двух точек (участков, сегментов), так и изгибов, например острых углов.

Примером сочетания гладких кривых и острых преломлений служат профили авиакрыла. Что же такое гладкость кривых?

Пример. Для частицы, которая перемещается по кривой, следует обеспечить выполнение требования:

ü на пути вдоль параметрической кривой не должно быть остановок (кроме начала и конца);

ü внезапного изменения направления.

Для того чтобы представить такое движения частицы, можно мысленно "укрепить" на ней стрелку, которая непрерывно указывает направление движения вдоль параметрической кривой.

На математическом языке стрелка на частице есть касательный вектор. Если касательная в соседних точках не меняет внезапно своего направления, такую кривую считают гладкой (рис. 1.3).

Если "на кривой имеется излом, то направление касательной в точке Q меняется практически мгновенно (рис. 1.4).

Рис. 1.3. Касательная на гладкой кривой

Рис. 1.4. Касательная на кривой с изломом

Дальше познакомимся с основами построения гладких кривых, которые применяют в векторной и векторно-компьютерной графике. Начнем с NURBS-кривых. Они есть наиболее общим и более сложным случаем таких кривых.