Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

Тема 11.1 Задачі, що приводять до кратних інтегралів. Обчислення кратних інтегралів по клітинах та по правильних областях.

1. Обчислити подвiйний iнтеграл

де D – область, обмежена параболами: y=x² i y²=x.

Розв`язання. Побудуємо область iнтегрування:

Для знаходження координат точек перетину

розв`яжемо систему рiвнянь:

Обчислимо iнтеграл, виконавши внутрiшнє

iнтегрування по y, а зовнiшнє по х.

dxdy = dy = [x²y+y²/2]

2. Обчислити потрiйний iнтеграл , якщо область

обмежена площинами x=0,y=0,x+y+z=1.

Розв`язання.

Побудуємо область iнтегрування.

Область обмежена зверху площиною

z=1-х-y, а знизу площиною z=0.

Проекцiєю на площину xoy служить

трикутник, створений прямими

x=0, y=0, y=1-x.

=

3. Змiнити порядок iнтегрування в iнтегралi:

Розв`язання.

Область iнтегрування обмежена лiнiями y=0,y=4,x=0,

x=

Замiнимо порядок iнтегрувння,

для чого область D розiб`ємо на

двi областi D₁ i D₂. Область D₁

обмежена лiнiями: x=0,x=3,y=0,

y=4. Область Д₂ обмежена лiнiя-

ми: x=3,x=5.y=0,x=25-x².

Тодi: