Заняття 38

Тема 11.3. Застосування кратних інтегралів.

Обчислення площ пласких фігур та регулярних поверхонь, об`ємів, мас і т. ін.

ВПРАВИ

1. Обчислити площу фiгури, обмеженої кривою:

(x²+y²)⁵=a⁶x³y, a>0.

Розв`язання.

Перетворимо дане рiвняння дополярних координат,

застосовуючи формули переходу x=

Побудуємо область обмежену данною лiнiєю.

З рисунку видно, що

достатньо обчислити

площу фiгури, що зна-

ходиться в перший чвер-

тi, та одержаний резуль-

тат подвоїти.

Застосовуючи формулу

обчислення площi плоскої

фiгури в полярной системi координат маємо:

2. Обчислити об`єм тiла, обмеженого поверхнями:

y=x²,y=1,z=0,x+y+z=4.

Розв`язання.

Данне тiло представляє вертикальний цiлiндр, зверху

обмежений частиною площини z=4-x-y, знизу частиною

площини XOY, що знаходиться мiж параболою y=x² i

прямою y=1.

Границi iнтегрування:

Обчислимо об`єм цього тiла за допомогою потрiйного

iнтегралу: