Заняття 39

Тема 11.4. Криволінійні інтеграли 1-го та 2-го роду, їх властивості та обчислення, застосування.

Обчислення довжини, маси і т. ін. регулярної кривої, площі пласкої однозв'язної області. Визначення незалежності інтегралу 2-го роду від шляху інтегрування. Відшукування функцій по їх диференціалах. Застосування теореми Гріна.

ВПРАВИ.

1. Задане коло: х = R×cost, y = R×sint, tÎ[0,2p]. Обчислити:

а) Криволінійний інтеграл І роду

б) Криволінійний інтеграл ІІ роду вздовж L в напрямі зростання параметра t безпосередньо і за формулою Гріна.

R = , g(x,y) = 2y-x, P = x², Q = y-x.

Розв’язання. а) Використовуємо формулу обчислення криволі-нійного інтеграла І роду: .

= - це відповідь.

б) Використовуємо формулу обчислення криволінійного інтеграла ІІ роду:

.

Використовуємо формулу Гріна:

.

Область D обмежена контуром L.

,

цей інтеграл визначає площу області D, площу круга радіуса і дорівнює . Відповідь: даний інтеграл дорівнює -3p.

2. Обчислити криволiнiйний iнтеграл:

де l - пiвколо вiд t₁=0 до t₂=

Розв`язання.

Визначаємо диференцiали dx=-asintdt, dy=acostdt.

Пiдставивши в даний iнтеграл значення змiнних

x,y та їх диференцiали одержимо: