Заняття 42

Тема 12.3. ЗДР вищих порядків. Рівняння, що допускають зниження порядку.

ВПРАВИ

1. Розв’язати диф. рівняння, які допускають зменшення порядку.

а) Знайти загальний розв’язок:

Розв’язання. Дане рівняння не включає в явному вигляді у. В цьому випадку порядок рівняння зменшується заміною невідомої функції z(x)=

Знаходження z(x):

Знаходження у(х): :

Перевірка існування додаткових розв’язків при z=0: , - це розв’язок (підстановка його у вихідне диф. рівняння дає тотожніть 0=0), який є особливим випадком розв’язку при (тут позначено .

Відповідь:

б) Знайти частинний розв’язок: у(1)=2,

Розв’язання. Дане диф. рівняння не включає в явному вигляді х. В цьому випадку порядок рівняння зменшується заміною невідомої функції p(y(x))= це рівняння відносно р(у) при початковій умові р(2)=-1.

Знаходження р(у):

(),

Знаходження у(х): , - цечастинний розв’язок.