Заняття 43

Тема 12.4. Однорідні ЛДР (ОЛДР) зі сталими коефіцієнтами.

Неоднорідні ЛДР (НЛДР). Метод варіації довільних сталих. Визначення частинного розв'язку НЛДР з правою частиною спеціального вигляду .

ВПРАВИ.

1. Розв’язати неоднорідні лінійні диф. рівняння з постійними коефіцієнтами.

а) Знайти частинний розв’язок: у(0)=1,

Розв’язання. Загальний розв’язок має вигляд , де - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння , - який-небудь частинний розв’язок даного неоднорідного рівняння.

Знаходження за допомогою характеристичного рівняння

r²-2r+1=0. В цьому випадку однакових коренів =

, – довільні сталі.

Знаходження . Права частина рівняння має вигляд , де Р_n(х)=х, . співпадає з обома коренями r₁=r₂=1. В цьому випадку шукають у вигляді , знаходячи А і В

підстановкою у дане диф. рівняння:

Коефіцієнти при однакових степенях х рівних многочленів рівні, тоді:

Загальний розв’язок:

Із початкової умови знаходять с₁, с₂:

Частинний розв’язок:

б) Знайти загальний розв’язок:

Розв’язання. . Знаходження :

В цьому випадку комплексних коренів

Знаходження Права частина рівняння має вигляд

де В цьому випадку шукають у вигляді

.

Підстановка в диф. рівняння:

Із умови рівності коефіціентів справа і зліва: при sin2x -4A=8, A = - 2, при cos2x 4B=0, B = 0.

Загальний розв’язок