Розділ 13. Ряди

Тема 13.1 Числові ряди. Безпосереднє дослідження, необхідна умова збіжності.

Достатні умови збіжності знакододатних рядів: порівняння, Даламбера, радикальні та інтегральна Коші.

Знакозмінні ряди абсолютно та умовно збіжні. Знакопочережні (знакопереміжні) ряди, теорема Лейбниця. 4 4 2

ВПРАВИ

1. Дослідити числові ряди.

а)

Розв’язання. Застосування висновку необхідної умови збіжності числового ряду:

ряд розбіжний.

б)

Розв’язання. Ряд знакододатний.

тож необхідна умова збіжності не заперечує збіжності ряду. Треба скористатись достатніми умовами збіжності. Загальний член даного ряду – раціональний дріб, який має порядок ̃~ при В цьому випадку застосовують ознаки порівняння,- порівняння з гармонічним розбіжним рядом За другою ознакою порівняння скінченна ненульова границя, тож даний ряд, як і гармонічний ряд, розбіжний.

в)

Розв’язання. Ряд знакодатний. Якщо загальний член складається з факторіалів і показникових функцій, то зручна ознака Даламбера:

це необмежена функція при n , ряд розбіжний.

г)

Розв’язання. Загальний член ряду-степенево показникова функція. В цьому випадку зручна радикальна ознака Коши:

ряд збіжний.

д)

Розв’язання. Ряд знакодатний. У випадках, коли застосування інших ознак укладнене, може бути зручною інтегральна ознака збіжності: нехай

,

невластивий інтеграл збіжний, тож і ряд збіжний.

є)

Розв’язання. Ряд знакозмінний. Тому треба з’ясувати не тільки його збіжність, але і характер збіжності - абсолютний чи умовний. Спочатку досліджується абсолютна збіжність: знакододатний гармонічний ряд, відомо, що він розбіжний, і тому даний ряд не є абсолютно збіжним і треба дослідити його ще і на умовну збіжність.

Ряд знакопочережний. Перевіряють умови ознаки Лейбниця:

1) або

2)

умови виконуються, ряд збігається умовно.