Заняття 48

Ряд Тейлора для функції. Застосування ряду Тейлора.

ВПРАВИ

1. Знайти область збіжності степеневого ряду

Розв’язання. Знаходять радіус збіжності:

=

інтервал збіжності (-1;1). Область збіжності може відрізнятись від нього лише граничними точками. Досліджується збіжність ряду в них. При х=1 ряд знакодатний: - узагальнений гармонічний степені два; відомо, що він збігається. При х=-1 степеневий ряд стає знакопочережним числовим рядом , який досліджується на абсолютну збіжність: збіжний ряд, тож при х=-1 даний степеневий ряд абсолютно збігається. Область збіжності [-1;1].

1. Знайти чотири перших члена розкладання в степеневий ряд частинного розв’язку задачі Коши

Розв’язання. Розкладання частинного розв’язку в степеневий ряд – це розкладання в ряд Тейлора (в ряд Маклорена при х₀=0):

y(x)=y(x₀)+

Із початкової умови у(0)=1, Із диф. рівняння

- це відповідь.

Тема 13.3. Тригонометричний ряд Фур'є для періодичної функції, парної та непарної.