Линеаризация дифференциальных уравнений и ее использование при получении принципа максимума

Линеаризация предназначена для того, чтобы заменить нелинейное диф. ур-ие окрест. некоторого решения и рассмотреть лин. ур-ие с малым отклонением от исходного решения (т.е. мы линеаризуем не объект, а решение диф. ур-ия, которое описывает данный объект в окрестн. известного решения).

Пример:

F(y, y^l, u)=0, пусть y₀(t)-реш. соотв. u₀(t). Цель линеар. – получить новое решение

F(y_н, y_н^l, u_н(t))=0

Ищем y_н(t). Для малых возмущений управляющего воздействия:

U_н(t)=U₀(t)_старое +E(t)_{возмущ.}. Найти приближенный способ получения y_н(t) – задача, которая стоит перед линеар-ей. Предполагается: y_н(t) = y₀(t) + x(t), где x(t)-малая добавка. Приближ. способ: для x(t) удается получить лин. диф. ур-ие, но оно будет с переменными коэф-ми.

Использование линеаризации при получение принципа максимума. F(y, y^l, u) 0; u₀(t) – решение x₀(t); U_н(t)=U₀(t)+Δt, где U_н(t) – новое управляющее воздействие. x_н(t)=x₀(t)-δ(t)-новое решение. Если Δt-очень мало, считаем что δ(t)-тоже мало. Если u₀-известно, то F(x₀(t), x₀^l(t), u₀(t)) 0; F(x_н(t), x_н^l(t), u_н(t)) 0;

F(x₀(t)+δ(t), x₀^l(t)+δ^l(t), u₀(t)) F(x₀, x₀^l, u₀)+ , где =a₀(t), a₁(t), =b(t). Все производные – функции времени. В окрест. решения x(t) проводим разложение в ряд Фурье, т.к. считаем, что - мало, след-но. функция будет изменяться мало, можно использ. первые два члена разложения. a₀(t), a₁(t), b(t) – могут быть вычислены, т.к. u₀(t), x₀(t)-известны. ∑=0. Получаем: a₁(t)δ¹(t)+ a₀(t)δ(t)+b(t) Δt . Задача: найти добавку δ(t), для нее мы получим диф. ур-ие – это и есть линеаризованное уравнение.

δx(τ) δx(τ)= = ε();

τ

(x₁….x_n,u_.) –рез. линеаризации. δJ=δx₀(t)=>0 хотим, чтобы функция имела наим знач→ приращ. в min д.б. “+”. Введем числовой верх:

ψ= , -δx₀(t)<=0, -δJ =<δx(τ),ψ>; ψ(t)= ; ψ(t)=ψ; -δJ =<δx(τ),ψ(t)>

подберем такой ψ(t), чтобы <δx(τ),ψ(t)>=const, потребуем чтобы <δx(τ),ψ(t)> ; необходимо чтобы выполнялось – сопряж. диф. уравн. → обеспечим <δx(τ),ψ(t)>=const. Для того, чтобы u(t), было оптим-м. необх. чтобы в каждый момент времени t функция H=<f,ψ> достигала наибольшего значения по аргументу. u-главное содержание принципа максимума.