Уравнения с разделяющимися переменными

---Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию

f (x) dx + g (y) dy = 0.

(10)

Пусть y (x) - решение этого уравнения, т.е. f (x) dx + g (y (x)) dy (x) = 0. Интегрируя это тождество, получим - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.
---Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида

или	(11)
f 1(x) g 1(y) dx + f 2(x) g 2(y) dy = 0	(12)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (11) в форме , затем делим на g (y) и умножаем на dx: .		Уравнение (12) делим на f 2(x) g 1(y): .
Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:
.		.
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.
Если функция g (y) имеет действительные корни y 1, y 2, y 3, …, то функции y = y 1, y = y 2, y = y 3, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.		Если функция f 2(x) имеет действительные корни x 1, x 2, x 3, …, функция g 1(y) имеет действительные корни y 1, y 2, y 3, …, то функции x = x 1, x = x 2, x = x 3, …, y = y 1, y = y 2, y = y 3, … являются решениями исходного уравнения.
В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.