Делимость в кольце многочленов

В кольце многочленов операция деления не выполнима, однако существуют такие многочлены, что один из них делится на другой.

Во множестве всех многочленов вводится понятие делимости.

Говорят многочлен делится на , если , такой что

делитель , кратное

Свойства делимости многочленов:

1. ,

2. ,

,

4. ; , то

5. Если и любой, то

Свойство 3 и свойство 5 выражают достаточное условие делимости суммы и произведения.

6. Если а , то свойство транзитивности.

7. Если , то

8. Если степени n, то любой делитель многочлена имеющий степень n имеет вид: ,

9. и делятся друг на друга тогда и только тогда, когда они отличаются друг от друга числовым множителем.

Доказательство:

1)Необходимость.

Дано.

Доказать.

Доказательство.

Ст. Ст.

многочлены нулевой степени, то есть являются числами из поля

, d

2)Достаточность.

Дано.

Доказать.

Доказательство. Из условий и определения делимости следует, что

10. Делители многочленов одни и те же.