Взаимно-простые многочлены и их свойства

Определение. , тогда – взаимно-простые.

Теорема 1 (критерий):

, взаимно-простые ó над P .

Доказательство:

1. Необходимость этого условия вытекает из теоремы о линейном представлении НОД.

2. Достаточность.

Дано:

Доказать:

Метод «от противного».

Пусть

1

Теорема 2:

и , то .

Доказательство:

Т.к. по теореме 1

|

,

.

Теорема 3:

, то

Доказательство:

Из что над P

Если бы , то

общий делитель ,

а по условию - противоречие =>

.

Теорема 4:

Если и и , то

Доказательство:

,

.