Комплексная экспонента

Правило (2) предыдущего параграфа дает нам право определить экспоненту чисто мнимого числа:

Действительно, таким образом определенная функция обладает следующими свойствами:

Здесь первое равенство есть частный случай (2) предыдущего параграфа, когда , второе равенство есть не что иное как формула Муавра, а третье равенство вытекает из периодичности гармоник. Заметим, что никакой коллизии в обозначения в связи с известной экспонентой действительной переменной не возникает; равенство аргументов возможно лишь если . Но тогда определение (1) комплексной экспоненты дает нам значение , что совпадает с известным равенством .

Определение (1) позволяет записать ненулевое комплексное число в показательной форме

В таком виде легче оперировать с комплексными числами, когда речь идет об умножении, делении и возведении в степень. Например,