Многочлены

Многочлен с переменной имеет вид

Величины -ые, суть коэффициенты многочлена, могут быть целыми или рациональными или действительными или комплексными. Мы рассматриваем многочлены как функции одного переменного, если переменной придано значение , то значение многочлена в этой точке равно Если , то коэффициент называется старшим; в этом случае говорят, что многочлен имеет степень (записываем как В частности, есть общий вид линейного многочлена, а есть общий вид квадратного трехчлена (). Удобно считать, что степень нулевого многочлена есть , и эта величина меньше чем любая другая возможная степень – Многочлены, как и всякие функции, можно складывать и умножать. Пусть , . Тогда

Здесь и далее полагаем, что если многочлен задан соотношением (1), то при всех . Таким образом

Умножаются многочлены путем стандартной процедуры раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Это приводит к следующему правил умножения многочленов

Отметим, что сумма и разность многочленов, а также произведение многочленов есть многочлены.

Отметим свойства степени многочлена

А. . Заметим, что это свойство верно и в том случае, когда один или оба из многочленов и нулевые. Для этого надо считать, что для любого элемента .

Б. . Если степени многочленов и различны, то здесь имеет место равенство.

Деление многочленов с остатком. Для любых многочленов таких, что найдется многочлен -- неполное частное и – остаток, для которых верно равенство , причем степень остатка меньше чем степень делителя .

Обоснуем метод деления с остатком, применяя индукцию по степени делимого. База индукции, случай . Тогда надо взять и . Пусть для метод обоснован, и сейчас . Тогда , где . Обозначим через степень делителя. Тогда где . По определению Можно считать , ибо иначе следует положить и . Рассмотрим разность

Этот многочлен имеет степень меньшую чем (см. свойство степеней Б), следовательно, найдутся -- неполное частное и – остаток, такие, что

Искомый остаток есть , а искомое неполное частное есть

Пример. Разделим на c остатком «уголком»:

Итак, -- неполное частное, а -- остаток. Имеет место равенство

Определение. Число есть корень многочлена если .

Теорема Безу. Число есть корень многочлена тогда и только тогда, когда делит нацело, без остатка.

Доказательство. Поделим на с остатком:

Так как , то -- константный многочлен. Тогда . Следовательно, число – корень многочлена в том и только том случае, когда , а это имеет место ровно тогда, когда делит .□

Пусть -- корень многочлена . Тогда по теореме Безу. Если -- корень многочлена , то мы можем и от него отщепить . Будем это делать до тех пор пока и В этом случае называют кратностью корня . Итак, кратностью корня многочлена называется наибольшее натуральное число такое, что делит Если не является корнем многочлена , то удобно считать, что кратность есть 0.

Предложение. Число имеет кратность k в том и только том случае, когда и

Доказательство. Пусть и . Тогда

при этом значение многочлена в точке не равно нулю. Это дает возможность применить индукцию по и заключить, что все производные от порядка равны 0, а производная порядка не равна 0. Тогда и . База индукции, случай также следует из (2).