2015-08-13
1347
C помощью комплексной экспоненты легко извлекаются корни из комплексных чисел. Решим уравнение 
. Если w=0, то имеется только один нулевой корень кратности n. Пусть 
. Запишем 
в показательном виде 
, где 
. Найдем арифметический корень n-ой степени из r и обозначим его 
. Тогда уравнение имеет n корней, расположенных на окружности радиуса 
в вершинах правильного n-угольника
/*/ Действительно, применяя формулу Муавра, легко проверить, что все 
-- корни уравнения 
Пусть 
– какой-либо корень уравнения . Тогда 
. Приравнивая модули, получаем равенство 
. Сокращая на и деля на 
, получим 
откуда 
и 
. Это значит, что 
для некоторго целого 
. Поделим на 
с остатком: 
, где 
. Тогда
и 
. Следовательно, 
.
Корни (3) расположены в вершинах правильного - угольника, вписанного в окружность радиуса , имеющей центр в нулевой точке.
Например, найдем корни уравнения 
. Здесь 
арифметический корень шестой степени из 64 равен 2, а агрумент 
равен нулю. Следовательно, корни имеют вид
