Общая задача нелинейного программирования (ЗНП). Выпуклость области допустимых решений

Найти (1) при (2) и (3)

Считается что хоть одна из функций в (1),(2),(3) - нелинейная. Считая, что , , определенные на открытом множестве

Если непрерывны то Х замкнуто и совпадает с

Если по системе ограничений (2), (3) можно сказать, что множество допустимых решений выпукло и функция на этом множестве выпукла то задача минимизации имеет решение, причем каждая точка локального минимума является точкой глобального минимума функции цели.

Теорема:

Если выпуклы в то множество допустимых решений тоже является выпуклым.

Доказательство:

Если или то все катит (очевидно).

Если выпукло имеем

Если область допустимых решений определяется только ограничениями вида (3) и каждая функция выпукла в то область допустимых решений также выпукла.

В том случае если присутствуют ограничения типа (2) то доказательство выпуклости усложняется. Однако когда линейны то в этом случае пространство разбивается на подпространства с помощью гиперплоскостей.

В этом случае экстремум функции цели будет принадлежать области пересечений ограничений типа (2) и расположенных внутри выпуклой области определенной ограничениями типа (3).

Во многих случаях общую задачу нелинейного программирования можно свести к задаче с ограничениями типа равенств записав (3) в виде